塞瓦定理
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塞瓦線,或稱為賽瓦線段是各頂點與其對邊或對邊延長線上的一點連接而成的直線段。塞瓦定理(英語:Ceva's theorem)指出:如果的塞瓦線段 、、 通過同一點,則
它的逆定理同樣成立:若、、分別在的邊、、或其延長線上(都在邊上或有兩點在延長線上),且滿足
- ,
則直線、、共點或彼此平行(於無限遠處共點)。當、、中的任意兩直線交於一點時,則三直線共點;當、、中的任意兩直線平行時,則三直線平行。
它最先由義大利數學家喬瓦尼·塞瓦證明,因而得名。此定理又譯西瓦定理或帥氏定理。
證明
- 設 h = A 到 的距離
- 的面積 =
- 的面積 =
- 的面積 / 的面積 =
由等比性質,
- 同理
系理:角平分線定理
在三角形中,的角平分線交於,。
參見
- ^ Russell, John Wellesley. Ch. 1 §7 Ceva's Theorem. Pure Geometry. Clarendon Press. 1905.
- ^ Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind (1996), Challenging Problems in Geometry, pages 177–180, Dover Publishing Co., second revised edition.