塞弗特-范坎彭定理

代數拓撲中的塞弗特－范坎彭（Seifert–van Kampen）定理，將一個拓撲空間的基本群，用覆蓋這空間的兩個開且路徑連通的子空間的基本群來表示。

定理敍述

設$X$為拓撲空間，有兩個開且路徑連通的子空間$U_{1},U_{2}$覆蓋$X$，即$X=U_{1}\cup U_{2}$，並且$U_{1}\cap U_{2}$是非空且路徑連通。取$U_{1}\cap U_{2}$中的一點$x_{0}$為各空間的基本群的基點。那麼從$U_{1}\cap U_{2}$到$U_{1}$及$U_{2}$的包含映射導出相應基本群的群同態：（以下省略基本群中的基點。）

$\phi _{1}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{1})$

$\phi _{2}:\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})\to \pi _{1}(U_{2})$

塞弗特－范坎彭定理指出$X$的基本群，是$U_{1},U_{2}$的基本群的共合積：

$\pi _{1}(X)=\pi _{1}(U_{1})*_{\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\pi _{1}(U_{2})$

用範疇論來說，$\pi _{1}(X)$是在群範疇中圖表

$\pi _{1}(U_{1})\leftarrow {\pi _{1}(U_{1}\cap U_{2})}\rightarrow \pi _{1}(U_{2})$

的推出。

這定理可以推廣至$X$的任意多個開子空間的覆蓋： 設

• $X$為路徑連通拓撲空間，$x_{0}$為$X$的一點，
• $\{U_{\lambda }\}_{\lambda \in \Lambda }$由路徑連通的開集組成，為$X$的開覆蓋，
• 任何一個$U_{\lambda }$都有點$x_{0}$，
• 對任何$\lambda ,\mu \in \Lambda$，都有$\nu \in \Lambda$，使得$U_{\lambda }\cap U_{\mu }=U_{\nu }$。

當$U_{\lambda }\subset U_{\mu }$，令

$\phi _{\lambda \mu }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(U_{\mu })$

為由包含所導出的群同態。又令

$\psi _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to \pi _{1}(X)$

為由$U_{\lambda }\subset X$所導出的群同態。那麼$\pi _{1}(X)$有下述的泛性質：

設$H$為群，對所有$\lambda \in \Lambda$有群同態$\rho _{\lambda }:\pi _{1}(U_{\lambda })\to H$，使得若$U_{\lambda }\subset U_{\mu }$，則

$\rho _{\mu }\circ \phi _{\lambda \mu }=\rho _{\lambda }$。

那麼存在唯一的群同態$\sigma :\pi _{1}(X)\to H$，使得對所有$\lambda \in \Lambda$，都有

$\rho _{\lambda }=\sigma \circ \psi _{\lambda }$。

這個泛性質決定唯一的$\pi _{1}(X)$。（不別群同構之異。）

參考

• Massey, William. A Basic Course in Algebraic Topology. Graduate Texts in Mathematics 127. Springer-Verlag. 1991.