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圓外切梯形

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圓外切梯形

歐幾里得幾何中,圓外切梯形(英語:Tangential trapezoid,也稱為切線梯形)是指存在內切圓梯形,或者說有一對邊平行圓外切四邊形[1]。存在圓外切等腰梯形圓外切直角梯形等子類型。菱形正方形也可以看成是是特殊的圓外切梯形。

皮托定理

周長

根據皮托定理圓外切四邊形對邊和相等,可得到圓外切梯形的兩腰長和與兩底長和相等,則周長 P[2]

其中a, b分別為梯形的上下底長,c, d為兩腰長。

另外,半周長為,中位線為

面積

將上述由皮托定理得出的半周長代入梯形的半周長面積公式,得到圓外切梯形的面積S為[3]

其中a、b為兩底長,c為任意一腰長。

由於圓外切梯形的高與內切圓直徑相等,則由中位線面積公式可得:

此外,設四條不同點出發的切線長為e, f, g, h,則面積為[4]:p.129

內切圓半徑

由四邊形內切圓半徑公式,和上述兩個面積公式得到:

更一般的,若e, f, g, h中,e, hf, g分別是同一腰上的切線長,則根據梯形高與腰構成的直角三角形的勾股定理得到[5]

由此式能得到上述四切線長有關的半徑公式和面積公式。

圓外切直角梯形

底角為直角的圓外切梯形

圓外切直角梯形(英語:right tangential trapezoid)是指底角為直角的圓外切梯形,設其上下底長分別為a, b,則由皮托定理得出斜腰長,由斜腰三角形勾股定理可得到內切圓半徑為[2]

內切圓的直徑與梯形的高相等,為上下底的調和平均數,暨

將上式代入梯形的面積公式,可得出面積為兩底長之積[2]

同時,將上式代入斜腰三角形勾股定理,可得到

圓外切等腰梯形

兩腰相等的圓外切梯形一定是雙心四邊形

圓外切等腰梯形(英語:isosceles tangential trapezoid)是指兩腰相等的圓外切梯形,由於等腰梯形是一種圓內接四邊形,因此圓外切等腰梯形同時擁有內切圓和外接圓,暨圓外切等腰梯形屬於一類雙心四邊形

設兩底長為a, b,由皮托定理得出腰長為上下底的算術平均數,暨,通過勾股定理可得到內切圓半徑為[6]

內切圓的直徑與梯形的高相等,為上下底的幾何平均數,暨

因此,圓外切等腰梯形也可以作為均值不等式中,算術平均數大於幾何平均數的幾何解釋。這一類問題也是日本算額中的常見問題。

將半徑代入圓外切四邊形面積公式,可以得到圓外切等腰梯形的面積為[7]

另外,由均值不等式中,幾何平均數大於調和平均數可知,在兩底長a, b相同的情況下,圓外切等腰梯形的半徑、高、圓面積、梯形面積都大於圓外切直角梯形。

更一般的,在所有由相同a, b所構成的圓外切梯形中,圓外切等腰梯形的上述四者是最大的。暨e, f, g, h中,e, hf, g分別是同一腰上的切線長,,若且唯若e=f,g=h時取等於號,此時兩腰相等。

參考文獻

  1. ^ R.A.詹森,《近代歐氏幾何學》,單墫 譯,第158頁,上海教育出版社,ISBN 7-5320-6392-5
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 Math Message Boards FAQ & Community Help | AoPS. artofproblemsolving.com. [2022-02-10]. 
  3. ^ H. Lieber and F. von Lühmann, Trigonometrische Aufgaben, Berlin, Dritte Auflage, 1889, p. 154.
  4. ^ Josefsson, Martin, Calculations concerning the tangent lengths and tangency chords of a tangential quadrilateral (PDF), Forum Geometricorum, 2010, 10: 119–130 .
  5. ^ Josefsson, Martin, The diagonal point triangle revisited (PDF), Forum Geometricorum, 2014, 14: 381–385 .
  6. ^ Inscribed Circle and Trapezoid | Mathematical Association of America. www.maa.org. [2022-02-10]. 
  7. ^ Abhijit Guha, CAT Mathematics, PHI Learning Private Limited, 2014, p. 7-73.