本條目中，向量 與純量 分別用粗體 與斜體 顯示。例如，位置向量通常用
r
{\displaystyle \mathbf {r} \,\!}
r
{\displaystyle r\,\!}
四維速度 （英語：Four-velocity ）是指物理學 中，特別是狹義相對論 和廣義相對論 中，一個物體的四維速度 是取代古典意義上的速度 （三維向量 ）的四維向量（四維時空 中的向量）。選取四維速度的原因是四維速度在勞侖茲變換 下是協變 的，而三維速度不是；換句話說，這麼選取可以使光速 在任意慣性系 下保持不變。
相對論理論中一個事件是在四維時空內的坐標描述的，一個物體在時空中運動產生的軌跡曲線是通過原時 這個參數實現參數化的，而這條曲線稱作世界線 。四維速度是一維時間與三維空間坐標對原時的改變率所構成的向量，同時也是世界線的切向向量 。
作為比較，在古典力學中事件是通過它們在每一時刻上在三維空間中的坐標描述的，它們在三維空間中的軌跡是通過時間這個參數實現參數化的。古典速度是三維空間坐標對時間的改變率所構成的向量，同時也是軌跡的切向向量。
在狹義相對論的框架中，四維速度的大小（模）總是和光速的大小相等。
在古典力學中一個物體在三維空間中的運動路徑由其在三維空間中的坐標函數
x
i
(
t
)
,
i
∈
{
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle x^{i}(t),\;i\in \{1,2,3\}}
t
{\displaystyle t\,}
x
=
x
i
(
t
)
=
[
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
x
3
(
t
)
]
{\displaystyle \mathbf {x} =x^{i}(t)={\begin{bmatrix}x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
其中
x
i
(
t
)
{\displaystyle x^{i}(t)}
t
{\displaystyle t\,}
在任意一點
p
{\displaystyle p\,}
u
{\displaystyle {\mathbf {u} }}
u
≡
d
x
d
t
{\displaystyle {\mathbf {u} }\equiv {\mathrm {d} \mathbf {x} \over \mathrm {d} t}}
因此其分量為
u
=
(
u
1
,
u
2
,
u
3
)
=
d
x
i
d
t
=
(
d
x
1
d
t
,
d
x
2
d
t
,
d
x
3
d
t
)
{\displaystyle {\mathbf {u} }=(u^{1},u^{2},u^{3})={\mathrm {d} x^{i} \over \mathrm {d} t}=\left({\frac {\mathrm {d} x^{1}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{2}}{\mathrm {d} t}}\;,{\frac {\mathrm {d} x^{3}}{\mathrm {d} t}}\right)}
這裡的導數都是在
p
{\displaystyle p\,}
d
x
a
{\displaystyle \mathrm {d} x^{a}}
d
t
{\displaystyle \mathrm {d} t}
在愛因斯坦 的相對論 中，一個物體對某個特定參考系的運動軌跡是由四維坐標函數
x
μ
(
τ
)
,
μ
∈
{
0
,
1
,
2
,
3
}
{\displaystyle x^{\mu }(\tau ),\;\mu \in \{0,1,2,3\}}
x
0
{\displaystyle x^{0}}
τ
{\displaystyle \tau }
X
=
x
μ
(
τ
)
=
[
x
0
(
τ
)
x
1
(
τ
)
x
2
(
τ
)
x
3
(
τ
)
]
=
[
c
t
x
1
(
t
)
x
2
(
t
)
x
3
(
t
)
]
{\displaystyle \mathbf {X} =x^{\mu }(\tau )={\begin{bmatrix}x^{0}(\tau )\\x^{1}(\tau )\\x^{2}(\tau )\\x^{3}(\tau )\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}ct\\x^{1}(t)\\x^{2}(t)\\x^{3}(t)\\\end{bmatrix}}}
從時間膨脹 中我們得知
t
=
γ
τ
{\displaystyle t=\gamma \tau \,}
其中
γ
{\displaystyle \gamma }
勞侖茲因子 ，定義為
γ
=
1
1
−
u
2
c
2
{\displaystyle \gamma ={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {u^{2}}{c^{2}}}}}}}
而
u
{\displaystyle u\,}
歐幾里德模 ：
u
=
|
|
u
|
|
=
(
u
1
)
2
+
(
u
2
)
2
+
(
u
3
)
2
{\displaystyle u=||\mathbf {u} ||={\sqrt {(u^{1})^{2}+(u^{2})^{2}+(u^{3})^{2}}}}
一個四維速度是對應世界線的四維切向向量，四維速度的世界線
X
(
τ
)
{\displaystyle \mathbf {X} (\tau )}
U
=
d
X
d
τ
{\displaystyle \mathbf {U} ={\frac {\mathrm {d} \mathbf {X} }{\mathrm {d} \tau }}}
其中
τ
{\displaystyle \tau \,}
由於光速在任意慣性系下保持不變，無法找到光子靜止的慣性系，因此，對於光子而言，
d
τ
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} \tau =0}
[ 1] :49
時間
t
{\displaystyle t\,}
x
0
{\displaystyle x^{0}}
x
0
=
c
t
=
c
γ
τ
{\displaystyle x^{0}=ct=c\gamma \tau \,}
x
0
{\displaystyle x^{0}}
τ
{\displaystyle \tau \,}
U
μ
{\displaystyle U^{\mu }\,}
μ
=
0
{\displaystyle \mu =0\,}
U
0
=
d
x
0
d
τ
=
c
γ
{\displaystyle U^{0}={\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau \;}}=c\gamma }
至於空間分量方面，即
μ
=
i
=
{\displaystyle \mu =i=}
鏈式法則 求導數，可得固有速度 w = U i ：
U
i
=
d
x
i
d
τ
=
d
x
i
d
x
0
d
x
0
d
τ
=
d
x
i
d
x
0
c
γ
=
d
x
i
d
(
c
t
)
c
γ
=
1
c
d
x
i
d
t
c
γ
=
γ
d
x
i
d
t
=
γ
u
i
{\displaystyle U^{i}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}{\frac {\mathrm {d} x^{0}}{\mathrm {d} \tau }}={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} x^{0}}}c\gamma ={\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} (ct)}}c\gamma ={1 \over c}{\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}c\gamma =\gamma {\frac {\mathrm {d} x^{i}}{\mathrm {d} t}}=\gamma u^{i}}
這裡我們使用到古典力學中的速度定義：
u
=
u
i
=
d
x
i
d
t
{\displaystyle \mathbf {u} =u^{i}={dx^{i} \over dt}}
因此四維速度
U
{\displaystyle U}
c 及古典速度u 的關係為
U
=
γ
(
c
,
u
)
{\displaystyle U=\gamma \left(c,\mathbf {u} \right)}
四維加速度 定義為四維速度對原時的微分：
A
μ
=
d
U
μ
d
τ
{\displaystyle A^{\mu }={\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}
因為
U
μ
U
μ
=
−
c
2
{\displaystyle U^{\mu }U_{\mu }=-c^{2}\,}
0
=
d
d
τ
(
U
μ
U
μ
)
=
2
U
μ
d
U
μ
d
τ
{\displaystyle 0={\frac {d}{d\tau }}(U^{\mu }U_{\mu })=2U_{\mu }{\frac {dU^{\mu }}{d\tau }}}
因此得到以下四維速度和加速度的關係：
U
μ
A
μ
=
0
{\displaystyle U_{\mu }A^{\mu }=0\,}
在一個靜止參考系中，
γ
=
1
{\displaystyle \gamma =1}
u
=
0
{\displaystyle \mathbf {u} =0}
U
=
(
c
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle U=(c,0,0,0)\,}
注意到雖然僅僅在狹義相對論 的框架下，四維速度的模總等於光速；但不論是狹義相對論還是廣義相對論 ，它總具有下面的性質：
U
μ
U
μ
=
−
c
2
{\displaystyle U_{\mu }U^{\mu }=-c^{2}\,}
這是一個類時 或零性的粒子軌跡必須滿足的屬性。
Einstein, Albert; translated by Robert W. Lawson. Relativity: The Special and General Theory. New York: Original: Henry Holt, 1920; Reprinted: Prometheus Books, 1995. 1920. Rindler, Wolfgang. Introduction to Special Relativity (2nd) . Oxford: Oxford University Press. 1991. ISBN 0-19-853952-5
基礎概念 現象 時空 運動學 動力學 歷史背景 科學家 相關理論方法
^ Bernard Schutz. A First Course in General Relativity . Cambridge University Press. 14 May 2009. ISBN 978-0-521-88705-2
