唯一量化
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在謂詞邏輯和依賴於它的技術領域中,唯一量化或唯一存在量化,嘗試形式化對於「精確」的一個事物,或對於精確的特定類型的一個事物為真的某個事物的概念。唯一量化的一般化是計數量化。
例如:
- 恰有一個自然數 x 使得 x - 2 = 4。
符號化寫為:
- ∃!x ∈ N, x - 2 = 4
符號 ∃! 叫做「唯一量詞」或「唯一存在量詞」。它通常被讀作「有且僅有一個」、「恰有一個」、「存在唯一一個」(存在著這個符號的在文法上和如何閱讀上的多個變體)。
簡約為普通量詞
唯一量化通常被認為是全稱量化(「對於所有」,∀)、存在量化(「對於某個」,∃)和等式(「等於」,=)的組合。因此,如果 P(x) 是要在其上量化的謂詞(在我們上面例子中的 P(x) 是 「x - 2 = 4」),那麼 ∃!x, P(x) 意味著:
該表述等價於:
「正好存在一個 x 使得 P(x)」的陳述還可以寫為兩個更弱的陳述的邏輯合取。其中第一個簡單的存在量化:∃x,P(x)。第二個是唯一性,有些人寫為 !x, P(x)。它被定義為: ∀x, ∀y, P(x) ∧ P(y) → x = y。
這兩個陳述的合取:
邏輯等價於前面給出的單一陳述。但是實際上,證明唯一存在性通常要分別證明這兩個陳述。
另存在一種等效表述,優點是相當簡潔: