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唯一分解整環

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數學中,唯一分解整環(英語:Unique factorization domain,縮寫:UFD)是一個整環,其中元素都可以表示成有限個不可約元素(或質元素)之積,並且表示法在允許重排與相伴(associative)之下唯一,相當於滿足算術基本定理的整環。

定義

一個整環被稱為唯一分解整環若且唯若中的每個非零元素皆可表示為一個可逆元素和若干個不可約元素(可以是0個)的乘積:

其中是一個可逆元素不可約元素是非負整數。並且如果存在的另一種表示法此表法可逆元素不可約元素),則,且存在一個下標的重排可逆元素使得),換句話說,存在使得相伴。

例子

由此可知任意有限個變元的多項式環也是唯一分解整環,但是一般來說並不是主理想整環,除非是一個

以下給出幾個反例:

  • 並非唯一分解環,因為
  • 為任一交換環,則非唯一分解整環;當為體時,這在幾何上對應到一個奇異點。

性質

整數的一些概念可以推廣至唯一分解整環:

  • 在任意整環中,質元素必為不可約元;在唯一分解整環中,不可約元必為質元素。
  • 任意有限個元素有最大公因數最小公倍數,它們在至多差一個可逆元素的意義下唯一。

等價條件

  • 一個諾特整環是唯一分解整環若且唯若每個高度為一的質理想都是主理想(即:由單個元素生成)。
  • 一個整環是唯一分解整環若且唯若升鏈條件對主理想成立,而且任兩個元素有最小公倍數
  • 一個整環是唯一分解整環若且唯若其類群為平凡群。

文獻