週期性邊界條件

週期性邊界條件(PBCs)是分子類比與數學模型中的常用近似方法之一，其思想是用一個稱為元胞的週期性盒子來近似地描述宏觀的體系。在一個元胞周圍有緊密堆積的完全相同的元胞。例如在二維體系中，一個方形元胞四周有相同的元胞(稱為"鏡像")，若一個粒子從右邊邊界穿出，則從左邊邊界對應位置有相同粒子進入，由此保證了元胞中粒子數目以及物理量如動量與能量的守恆。

儘管電腦的計算能力發展迅速，但用其類比粒子數目非常巨大(阿佛加德羅常數數量級)的宏觀體系仍然是不現實的。當今電腦能類比數百萬乃至千萬個粒子的體系，要用這有限個粒子數目反映宏觀相的熱力學性質，只能藉助於週期性邊界來實現，使用有限個粒子的體系近似地描述宏觀體系的性質。分子動力學類比中，常使用PBC描述氣體、液體、溶液及晶態的行為。

實現

PBC演算法主要體現在兩部分。其一：對體系內粒子坐標的約束。x_size是一個方向上的元胞邊長，則粒子坐標區間為[-0.5*x_size, 0.5x_size)，代碼如下：

if (periodic_x) then
  if (x <  -x_size * 0.5) x = x + x_size
  if (x >=  x_size * 0.5) x = x - x_size
end if

其二，粒子間距離計算使用最小鏡像法則，代碼如下：

if (periodic_x) then
  dx = x(j) - x(i)
  if (dx >   x_size * 0.5) dx = dx - x_size
  if (dx <= -x_size * 0.5) dx = dx + x_size
end if

利用取整運算可寫出更為緊湊的代碼實現：

! 此时坐标x(i)已更新，但尚未使用PBC
x(i) = x(i) - nint(x(i) / x_size) * x_size  ! 坐标x(i)的PBC校验
! 粒子i与j间的最小镜像距离
dx = x(j) - x(i)
dx = dx - nint(dx / x_size) * x_size

這樣兩粒子在一個坐標軸方向上的距離總是小於等於半個盒子邊長。

元胞的幾何

上述PBC演算法的元胞是整數晶格（英語：Integer lattice）。一般地，PBC選擇的元胞需要能填充整個空間，因此球形或橢圓形的晶格是不能用作週期性邊界的元胞的。三維下，正方體或長方體是最直觀的選擇。考慮到立方體邊角可能浪費空間，或者說簡單立方堆積並不是密堆積，使用截角八面體元胞可以在更少體積的元胞內包含相同數量的粒子。

高維情況

通常，二維和三維的分子類比，因為實現簡單，簡單正方/立方元胞是最常用的週期性邊界條件。然而，高維的類比中，超方形邊角占母體的體積隨維度增加而顯著增大，因此簡單立方元胞的效率越來越低。從另一個角度看，元胞可被視作某種晶格堆積的維格納－賽茲原胞^[1]。例如，超方形晶格的週期性邊界條件對應著高維下的簡單立方堆積。使用最密堆積（英語：Close-packing of equal spheres）構建高維下的週期性邊界條件元胞可獲得理論最佳效率。例如，四維的最密堆積是正十六胞體堆砌，八維下則是E8晶格（英語：E8 lattice）。高維週期性邊界條件的實現等價於資訊理論中基於高維密堆積的糾錯碼演算法^[2]。

性質

PBC的引入不影響體系的動量守恆與能量守恆，但是角動量不再守恆。

PBC作為一種人為的近似，不可避免地對類比引入偏差，影響計算結果的有效範圍。即使對於最簡單的蘭納-瓊斯流體，PBC的引入對NVE 系綜下的類比的取樣也有輕微影響，從而對物理量的統計值引入系統誤差，^[3]故而引入PBC的NVE系綜被建議稱作NVEPG系綜。^[4]徑向分布函數g(r)在r大於半個盒子邊長時是不準確的，r等於盒子邊長時更是有人為的尖峰。在固體體系中，涉及振動的研究，聲音，衝擊波或聲子的波長範圍受體系大小的限制。對於長程力例如電磁相互作用的計算，需要使用特殊的方法(如Edwald加和，PPPM方法等)。^[5]相行為研究中，連續相的取向由於介面能的影響常常沿著盒子邊長，體系受限甚至可能得出錯誤的結論，因此即使引入PBC，體系的大小也應當足夠大以儘可能減小引入近似造成的非物理干擾。

參考資料

^ Berthier, Ludovic; Charbonneau, Patrick; Kundu, Joyjit. Finite Dimensional Vestige of Spinodal Criticality above the Dynamical Glass Transition. Physical Review Letters. 31 August 2020, 125 (10): 108001. doi:10.1103/PhysRevLett.125.108001.
^ Conway, J.; Sloane, N. Fast quantizing and decoding and algorithms for lattice quantizers and codes. IEEE Transactions on Information Theory. March 1982, 28 (2): 227–232. doi:10.1109/TIT.1982.1056484.
^ Erpenbeck JJ, Wood WW. (1977). Statistical Mechanics, Part B: Time-dependent Processes, Modern Theoretical Chemistry Vol 6. ed. Berne BJ. Plenum, New York, USA. See pp1-40.
^ Shirts RB, Burt SR, Johnson AM. (2006). Periodic boundary condition induced breakdown of the equipartition principle and other kinetic effects of finite sample size in classical hard-sphere molecular dynamics simulation. J Chem Phys 125(16):164102. PMID 17092058
^ [荷]Frenkel & Smit 汪文川等譯. Understanding Molecular Simulation -- From Algorithms to Applications [分子類比-從演算法到應用]. 北京: 化學工業出版社. 2002 [1996]. ISBN 7-5025-3952-2.

[kundu2020glass-1] Berthier, Ludovic; Charbonneau, Patrick; Kundu, Joyjit. Finite Dimensional Vestige of Spinodal Criticality above the Dynamical Glass Transition. Physical Review Letters. 31 August 2020, 125 (10): 108001. doi:10.1103/PhysRevLett.125.108001.

[conway1982quantization-2] Conway, J.; Sloane, N. Fast quantizing and decoding and algorithms for lattice quantizers and codes. IEEE Transactions on Information Theory. March 1982, 28 (2): 227–232. doi:10.1109/TIT.1982.1056484.

[Erpenbeck-3] Erpenbeck JJ, Wood WW. (1977). Statistical Mechanics, Part B: Time-dependent Processes, Modern Theoretical Chemistry Vol 6. ed. Berne BJ. Plenum, New York, USA. See pp1-40.

[Shirts-4] Shirts RB, Burt SR, Johnson AM. (2006). Periodic boundary condition induced breakdown of the equipartition principle and other kinetic effects of finite sample size in classical hard-sphere molecular dynamics simulation. J Chem Phys 125(16):164102. PMID 17092058

[5] [荷]Frenkel & Smit 汪文川等譯. Understanding Molecular Simulation -- From Algorithms to Applications [分子類比-從演算法到應用]. 北京: 化學工業出版社. 2002 [1996]. ISBN 7-5025-3952-2.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]