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同胚

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著有《一般拓撲學》一書的數學家約翰·L·凱利曾說:拓撲學家為不知甜甜圈與咖啡杯之分別者。

拓撲學中,同胚(英語:Homeomorphism)是兩個拓撲空間之間的雙連續函數。同胚是拓撲空間範疇中的同構;也就是說,它們是保持給定空間的所有拓撲性質映射。如果兩個空間之間存在同胚,那麼這兩個空間就稱為同胚的,從拓撲學的觀點來看,兩個空間是相同的。

拓撲空間是一個幾何物體,同胚就是把物體連續延展和彎曲,使其成為一個新的物體。因此,正方形是同胚的,但球面環面就不是。有一個笑話是說,拓撲學家不能區分咖啡杯和甜甜圈,這是因為一個足夠柔軟的甜甜圈可以捏成咖啡杯的形狀(見圖)。

定義

如果兩個拓撲空間{X,TX}和{Y,TY}之間的函數f : XY具有下列性質:

則稱{X,TX}和{Y,TY}同胚,它滿足以上三個性質的函數有時稱為雙連續自同胚就是從一個拓撲空間到它本身的同胚。同胚形成了所有拓撲空間的上的等價關係。所得到的等價類稱為同胚類

例子

三葉結與圓環同胚。雖然這表面上不合理,但是在四維空間中很容易把三葉結連續變形成一個圓。
  • 任何二維球面去掉一個點都與R2中的所有點所組成的集合(二維平面)同胚。
  • 為一個有單位的交換環,並設的乘法子集。那麼Spec 同胚。
  • 時,不與同胚。
  • 一個連續和雙射但不是同胚的函數的例子,是把半開區間纏繞到圓上的映射。在這個情況中,逆映射雖然存在,但不是連續的。

性質

  • 兩個同胚的空間具有相同的拓撲性質。例如,如果其中一個是緊空間,那麼另外一個也是緊空間;如果其中一個是連通空間,那麼另外一個也是連通空間,等等。然而,這不能推廣到通過度量所定義的性質;如果兩個度量空間是同胚的,那麼仍然有可能其中一個是完備的,而另外一個不是。
  • 每一個的自同胚都可以延伸到整個圓盤的自同胚。

注釋

參見

外部連結