數學 上，勒壤得函數 指以下勒壤得微分方程式 的解：
(
1
−
x
2
)
d
2
P
(
x
)
d
x
2
−
2
x
d
P
(
x
)
d
x
+
n
(
n
+
1
)
P
(
x
)
=
0.
{\displaystyle (1-x^{2}){\frac {\mathrm {d} ^{2}P(x)}{\mathrm {d} x^{2}}}-2x{\frac {\mathrm {d} P(x)}{\mathrm {d} x}}+n(n+1)P(x)=0.}
為求解方便一般也寫成如下史特姆-萊歐維爾形式 :
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
d
x
P
(
x
)
]
+
n
(
n
+
1
)
P
(
x
)
=
0.
{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0.}
上述方程式及其解函數因法國 數學家 阿德里安-馬里·勒壤得 而得名。勒壤得方程式是物理學 和其他技術領域常常遇到的一類常微分方程式 。當試圖在球坐標 中求解三維拉普拉斯方程式 （或相關的其他偏微分方程式 ）時，問題便會歸結為勒讓德方程式的求解。
勒壤得方程式的解可寫成標準的冪級數 形式。當方程式滿足
|
x
|
<
1
{\displaystyle |x|<1}
n 整數 ，即
n
=
0
,
1
,
2
,
…
{\displaystyle n=0,1,2,\ldots }
勒壤得多項式的一個重要性質是其在區間
−
1
≤
x
≤
1
{\displaystyle -1\leq x\leq 1}
L2 內積 滿足正交性 ，即：
∫
−
1
1
P
m
(
x
)
P
n
(
x
)
d
x
=
2
2
n
+
1
δ
m
n
{\displaystyle \int _{-1}^{1}P_{m}(x)P_{n}(x)\,\mathrm {d} x={2 \over {2n+1}}\delta _{mn}}
其中
δ
m
n
{\displaystyle \delta _{mn}}
克羅內克δ 記號，當
m
=
n
{\displaystyle m=n}
1
,
x
,
x
2
,
…
{\displaystyle {1,x,x^{2},\ldots }}
格拉姆-施密特正交化 。之所以具有此正交性是因為如前所述，勒壤得微分方程式可化為標準的Sturm-Liouville問題 ：
d
d
x
[
(
1
−
x
2
)
d
d
x
P
(
x
)
]
=
−
λ
P
(
x
)
,
{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P(x)\right]=-\lambda P(x),}
其中本徵值
λ
{\displaystyle \lambda }
n
(
n
+
1
)
{\displaystyle n(n+1)}
下表列出了前11階（n
n
P
n
(
x
)
{\displaystyle P_{n}(x)\,}
0
1
{\displaystyle 1\,}
1
x
{\displaystyle x\,}
2
1
2
(
3
x
2
−
1
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(3x^{2}-1)\,}
3
1
2
(
5
x
3
−
3
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{2}}\end{matrix}}(5x^{3}-3x)\,}
4
1
8
(
35
x
4
−
30
x
2
+
3
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(35x^{4}-30x^{2}+3)\,}
5
1
8
(
63
x
5
−
70
x
3
+
15
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{8}}\end{matrix}}(63x^{5}-70x^{3}+15x)\,}
6
1
16
(
231
x
6
−
315
x
4
+
105
x
2
−
5
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(231x^{6}-315x^{4}+105x^{2}-5)\,}
7
1
16
(
429
x
7
−
693
x
5
+
315
x
3
−
35
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{16}}\end{matrix}}(429x^{7}-693x^{5}+315x^{3}-35x)\,}
8
1
128
(
6435
x
8
−
12012
x
6
+
6930
x
4
−
1260
x
2
+
35
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(6435x^{8}-12012x^{6}+6930x^{4}-1260x^{2}+35)\,}
9
1
128
(
12155
x
9
−
25740
x
7
+
18018
x
5
−
4620
x
3
+
315
x
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{128}}\end{matrix}}(12155x^{9}-25740x^{7}+18018x^{5}-4620x^{3}+315x)\,}
10
1
256
(
46189
x
10
−
109395
x
8
+
90090
x
6
−
30030
x
4
+
3465
x
2
−
63
)
{\displaystyle {\begin{matrix}{\frac {1}{256}}\end{matrix}}(46189x^{10}-109395x^{8}+90090x^{6}-30030x^{4}+3465x^{2}-63)\,}
前6階（n
在求解三維空間中的球對稱問題，譬如計算點電荷 在空間中激發的電位 時，常常要用到勒壤得多項式作如下形式的級數 展開：
1
|
x
−
x
′
|
=
1
r
2
+
r
′
2
−
2
r
r
′
cos
γ
=
∑
ℓ
=
0
∞
r
′
ℓ
r
ℓ
+
1
P
ℓ
(
cos
γ
)
{\displaystyle {\frac {1}{\left|\mathbf {x} -\mathbf {x} ^{\prime }\right|}}={\frac {1}{\sqrt {r^{2}+r^{\prime 2}-2rr'\cos \gamma }}}=\sum _{\ell =0}^{\infty }{\frac {r^{\prime \ell }}{r^{\ell +1}}}P_{\ell }(\cos \gamma )}
其中
r
{\displaystyle r}
r
′
{\displaystyle r'}
向量
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}
r
{\displaystyle r}
r
′
{\displaystyle r'}
向量
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} ^{\prime }}
γ
{\displaystyle \gamma }
γ
{\displaystyle \gamma }
r
>
r
′
{\displaystyle r>r'}
x
′
{\displaystyle \mathbf {x} '}
電場 在
x
{\displaystyle \mathbf {x} }
積分 (需積分上式中間項)。這時，上式右邊的勒壤得多項式展開將對此積分的計算帶來很大的方便(逐項積分上式右邊的展開式可得一級數解，此級數之第一項叫做電單極矩，第二項叫做電偶極矩 ，第三項叫做電四極矩)。
靜電場中具有軸對稱邊界條件 的問題可以歸結為在球坐標系 中用分離變量法 求解關於電位函數的拉普拉斯方程式
∇
2
Φ
(
x
)
=
0
{\displaystyle \nabla ^{2}\Phi (\mathbf {x} )=0}
z
^
{\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}
θ
{\displaystyle \theta }
z
^
{\displaystyle {\widehat {\mathbf {z} }}}
Φ
(
r
,
θ
)
=
∑
ℓ
=
0
∞
[
A
ℓ
r
ℓ
+
B
ℓ
r
−
(
ℓ
+
1
)
]
P
ℓ
(
cos
θ
)
.
{\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).}
其中
A
ℓ
{\displaystyle A_{\ell }}
B
ℓ
{\displaystyle B_{\ell }}
[ 1]
勒壤得多項式的奇偶性由其階數確定。當階數k 偶數 時，
P
k
(
x
)
{\displaystyle P_{k}(x)}
偶函數 ；當階數k 奇數 時，
P
k
(
x
)
{\displaystyle P_{k}(x)}
奇函數 ，即：
P
k
(
−
x
)
=
(
−
1
)
k
P
k
(
x
)
.
{\displaystyle P_{k}(-x)=(-1)^{k}P_{k}(x).\,}
相鄰的三個勒壤得多項式具有三項遞迴關係：
(
n
+
1
)
P
n
+
1
=
(
2
n
+
1
)
x
P
n
−
n
P
n
−
1
{\displaystyle (n+1)P_{n+1}=(2n+1)xP_{n}-nP_{n-1}\,}
另外，考慮微分 後還有以下遞迴關係：
x
2
−
1
n
d
d
x
P
n
=
x
P
n
−
P
n
−
1
.
{\displaystyle {x^{2}-1 \over n}{\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P_{n}=xP_{n}-P_{n-1}.}
(
2
n
+
1
)
P
n
=
d
d
x
[
P
n
+
1
−
P
n
−
1
]
.
{\displaystyle (2n+1)P_{n}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right].}
其中最後一個式子在計算勒壤得多項式的積分 中較為有用。
使多項式的值：
#include <iostream>
using namespace std ;
int main ()
{
float n , x ;
float polyaendl ;
return 0 ;
}
float polya ( float n , float x )
{
if ( n == 0 ) return 1.0 ;
eurn x ;
else return (( 2.0 * n - 1.0 ) * x * polya ( n - 1.0 , x ) - ( n - 1.0 ) * polya ( n - 2.0 , x )) / n ;
}
移位勒壤得多項式
P
n
~
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}
[
0
,
1
]
{\displaystyle [0,1]}
∫
0
1
P
m
~
(
x
)
P
n
~
(
x
)
d
x
=
1
2
n
+
1
δ
m
n
.
{\displaystyle \int _{0}^{1}{\tilde {P_{m}}}(x){\tilde {P_{n}}}(x)\,\mathrm {d} x={1 \over {2n+1}}\delta _{mn}.}
其顯式表達式為：
P
n
~
(
x
)
=
(
−
1
)
n
∑
k
=
0
n
(
n
k
)
(
n
+
k
k
)
(
−
x
)
k
.
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(-1)^{n}\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}{n+k \choose k}(-x)^{k}.}
相應的羅德里格公式 為：
P
n
~
(
x
)
=
(
n
!
)
−
1
d
n
d
x
n
[
(
x
2
−
x
)
n
]
.
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(n!)^{-1}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}
下表列出了前4階移位勒壤得多項式：
n
P
n
~
(
x
)
{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)}
0
1
1
2
x
−
1
{\displaystyle 2x-1}
2
6
x
2
−
6
x
+
1
{\displaystyle 6x^{2}-6x+1}
3
20
x
3
−
30
x
2
+
12
x
−
1
{\displaystyle 20x^{3}-30x^{2}+12x-1}
分數階勒壤得多項式通過將分數階微分 和通過Γ函數 定義的非整數階乘 代入羅德里格公式 中來定義。
大Q勒壤得多項式 →勒壤得多項式 令大q雅可比多項式中的
c
=
0
{\displaystyle c=0}
令連續q勒壤得多項式 q->1得勒壤得多項式
lim
q
→
1
P
n
(
x
|
q
)
=
P
n
(
x
)
{\displaystyle \lim _{q\to 1}P_{n}(x|q)=P_{n}(x)}
小q勒壤得多項式 →勒壤得多項式
lim
q
→
1
p
n
(
x
|
q
)
=
P
n
(
1
−
2
x
)
{\displaystyle \lim _{q\to 1}p_{n}(x|q)=P_{n}(1-2x)}
![{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P(x)\right]+n(n+1)P(x)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a38b7793d33ceb4f859def04c69ce6e4270e9e16)
![{\displaystyle {\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[(1-x^{2}){\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}P(x)\right]=-\lambda P(x),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d36ac58db77aa89ab18a55f6589d3f0b030121a2)
![{\displaystyle \Phi (r,\theta )=\sum _{\ell =0}^{\infty }\left[A_{\ell }r^{\ell }+B_{\ell }r^{-(\ell +1)}\right]P_{\ell }(\cos \theta ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4139ff9f97346ce5b7ffc3b6b2cbefe070298f3)
![{\displaystyle (2n+1)P_{n}={\mathrm {d} \over \mathrm {d} x}\left[P_{n+1}-P_{n-1}\right].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/90c33be7f687f5854dbe83d2af928fc9ad9eae4d)
![{\displaystyle [0,1]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/738f7d23bb2d9642bab520020873cccbef49768d)
![{\displaystyle {\tilde {P_{n}}}(x)=(n!)^{-1}{\mathrm {d} ^{n} \over \mathrm {d} x^{n}}\left[(x^{2}-x)^{n}\right].\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e29dc086596788c0ba3e755ebedca11b0f41e821)
