切觸幾何

數學上，切觸幾何(英語：Contact geometry)是研究流形上的完全不可積超平面的幾何。根據弗洛比尼斯定理，這個（大致來講）可以通過葉狀結構的不成立來識別。作為它的姐妹，辛幾何屬於偶數維的世界，而切觸幾何是奇數維的對應幾何。

應用

切觸幾何和辛幾何一樣在物理學中有廣泛的應用，例如，幾何光學、經典力學、熱力學、幾何量子化、可積系統、以及諸如控制論這樣的應用數學。它也可以用於證明有趣的事情，例如『你總是可以平泊你的汽車，只要空間足夠大』。 切觸幾何有很多低維拓撲中的應用；一個這種相關性的表現就是每個三維流形都有一個切觸結構。

切觸形式和結構

在2n+1維流形M上, 一個切觸形式 α是一個（局部）1-形式，且具有屬性

$\alpha \wedge (d\alpha )^{n}\neq 0.$

一個切觸結構 ξ就是一個2n+1維流形上的一個切觸形式α的核，即一個完全不可積超平面場。大致來講，這表示你無法在一個開集上找到和ξ相切的一片超曲面。

從定義可以導出dα 限制到ξ 上時是非退化的。這表示ξ 是一個該流形上的辛叢。因為辛空間是偶數維的，切觸流形必須是奇數維的。

作為基本例子，考慮R³，使用坐標(x, y, z), 1-形式 dz-ydx 就是一個切觸形式.

在一點(x,y,z) 的切觸平面ξ由下列向量張成

X₁ = ∂_y

和

X₂ = ∂_x+y∂_z.

實際上很容易將這個例子推廣到任意R²ⁿ⁺¹。根據達布定理，一個流形上的每個切觸結構局部看起來就是這個例子。

任何n-維流形M的餘切叢 T^* M本身是一個流形(維數為2n)，並且自然地支持一個恰當辛結構ω = dλ。(這個1-形式λ有時稱為劉維爾形式)。在流形上取一個黎曼度量。這允許我們考慮每個餘切平面中的單位球。劉維爾形式限制到單位餘切叢是一個切觸結構。向量場 A (唯一地)由λ(A)=1和dλ定義，(A, B)=0對於所有該度量的測地流生成的向量場B成立。

另一方面，可以通過考慮 T^*M× R來構造一個切觸流形。採用坐標(x,t)，這個流形有一個切觸結構

α=dt+λ.

最後這個例子表明如何從辛流形得到切觸流形。同樣可以從切觸流形構造一個辛流形，也是通過和R 的直積： 若α是一個切觸形式，在流形M上，則

ω=d(e^tα)

是一個M×R上的辛流形，其中t 表示在R-方向的變量。

勒讓德子流形和紐結

切觸流形最有意思的子空間是它的勒讓德子流形。在(2n+1)-維流形上的切觸超平面場的不可積性意味著沒有2n-維子流形可以將它作為它的切叢，局部的都不行。但是，通常可以找到一個n-維（嵌入或者浸入）子流形，其切空間位於切觸場內。勒讓德子流形和辛流形的拉格朗日子流形類似。它們之間有一個精確的關係：勒讓德子流形在切觸流形的辛化中的提升是一個拉格朗日子流形。 勒讓德子流形的最簡單的例子是在一個切觸三維流形中的勒讓德紐結。不等價的勒讓德紐結可能作為光滑紐結是等價的。

勒讓德子流形是很剛性的對象；在一些情況下，子流形為了成為勒讓德子流形而必須解開紐結。辛場論提供勒稱為切觸同調的勒讓德子流形的不變量，它們有時可以用於區分拓撲等價的勒讓德子流形。

Reeb向量場

若α是一個給定切觸結構的切觸形式，Reeb向量場R可以定義維dα的核的唯一滿足α(R)=1的元素。其動力學可以用於研究切觸流形的結構甚或用諸如辛場論和嵌入切觸同調這類的Floer同調來研究流形本身。

歷史回顧

切觸幾何的根源出現於克里斯蒂安·惠更斯、Barrow和牛頓的著作中。切觸變換的理論（也即保持一個切觸結構的變換）是索甫斯·李發展的，其目的是雙重的，包括研究微分方程（例如勒讓德變換）和表述射影對偶性中常見的'空間元素的變換'。

參考

切觸幾何入門：

• Etnyre, J. Introductory lectures on contact geometry, Proc. Sympos. Pure Math. 71 (2003), 81-107.arXiv
• Geiges, H. Contact Geometry, arXiv
• Aebischer et.al. symplectic geometry, Birkhäuser, 1994.

切觸三維流形和勒讓德紐結：

• William Thurston, Three-Dimensional Geometry and Topology. Princeton University Press, 1997.

切觸幾何的歷史信息：

• Lutz, R. Quelques remarques historiques et prospectives sur la géométrie de contact , Conf. on Diff.Geom. and Top. (Sardinia, 1988) Rend. Fac. Sci. Univ. Cagliari 58 (1988), suppl., 361-393.
• Geiges, H. A Brief History of Contact Geometry and Topology, Expo. Math. 19 (2001), 25-53.
• Arnold, V.I. (trans. E. Primrose), Huygens and Barrow, Newton and Hooke: pioneers in mathematical analysis and catastrophe theory from evolvents to quasicrystals. Birkhauser Verlag, 1990.