在數學 中,特別是交換代數 中,分式理想 的概念是在對整環 的研究中所引入的,並且在戴德金整環 的研究中得到豐富。類似於通過給整數 引入分母 而產生了分數 ,在整環中,分式理想 可認為是為理想引入了在某種意義上 [來源請求] 的分母。在特定上下文中,為了有所區別,環的普通理想 常被強調為整理想 。
定義和基本結論
設
R
{\displaystyle R}
是一個整環,
K
{\displaystyle K}
是其分式域 。
R
{\displaystyle R}
的分式理想定義為
K
{\displaystyle K}
的一個
R
{\displaystyle R}
-子模
I
{\displaystyle I}
,使得存在一個非零的
r
∈
R
{\displaystyle r\in R}
,滿足
r
I
⊂
R
{\displaystyle rI\subset R}
。
r
{\displaystyle r}
可以被認為是子模
I
{\displaystyle I}
的「分母」,如果一個分式理想可由
K
{\displaystyle K}
的單個元素生成,則稱為主分式理想 。分式理想
I
{\displaystyle I}
包含於
R
{\displaystyle R}
,若且唯若
I
{\displaystyle I}
是
R
{\displaystyle R}
的整理想。
給定整環
R
{\displaystyle R}
,
R
{\displaystyle R}
的一個分式理想
I
{\displaystyle I}
被稱為是可逆的,如果存在另一個分式理想
J
{\displaystyle J}
,使得
I
J
=
R
{\displaystyle IJ=R}
。(這裡,
I
J
=
{
a
1
b
1
+
a
2
b
2
+
⋯
+
a
n
b
n
:
a
i
∈
I
,
b
i
∈
J
,
n
=
0
,
1
,
2
,
…
}
{\displaystyle IJ=\{a_{1}b_{1}+a_{2}b_{2}+\dots +a_{n}b_{n}:a_{i}\in I,b_{i}\in J,n=0,1,2,\dots \}}
被稱為兩個分式理想的積)。
R
{\displaystyle R}
的全體可逆分式理想按理想的求積運算,形成一個阿貝爾群 ,稱為
R
{\displaystyle R}
的分式理想群 ;其單位元 是
R
{\displaystyle R}
的單位理想 ,即
R
{\displaystyle R}
本身。
R
{\displaystyle R}
的全體主分式理想,形成一個分式理想群的子群 。
R
{\displaystyle R}
的一個(非零)分式理想是可逆的,若且唯若它是作為一個
R
{\displaystyle R}
模 是投射 的。
K
{\displaystyle K}
的每個有限生成
R
{\displaystyle R}
-子模 都是
R
{\displaystyle R}
的分式理想。進一步,如果
R
{\displaystyle R}
是諾特的 ,則這些就是
R
{\displaystyle R}
的全部分式理想。
戴德金整環
在戴德金整環 中,上面的理論更為簡單。特別地,戴德金整環的每個分式理想都是可逆的。事實上,這也是刻畫戴德金整環的特徵:一個整環是戴德金整環,若且唯若它的的每個非零分式理想都可逆。
在戴德金整環中,分式理想群模去主分式理想群所得到的商群 是這個戴德金整環的重要不變量 ,稱為它的理想類群 。引入分式理想的一部分原因就是為了說明理想類群確實是個商群 ,這比通過特別地定義理想類的乘法運算來構造理想類群 要更自然。[來源請求]
除子理想
設
I
~
{\displaystyle {\tilde {I}}}
為
R
{\displaystyle R}
的所有包含
I
{\displaystyle I}
的主分式理想的交集 ,則:
I
~
=
(
R
:
(
R
:
I
)
)
{\displaystyle {\tilde {I}}=(R:(R:I))}
其中
(
R
:
I
)
=
{
x
∈
K
:
x
I
⊆
R
}
{\displaystyle (R:I)=\{x\in K:xI\subseteq R\}}
為理想的商。
如果
I
~
=
I
{\displaystyle {\tilde {I}}=I}
,則稱
I
{\displaystyle I}
為除子理想 。如果
I
{\displaystyle I}
是除子理想,且
J
{\displaystyle J}
是非零素理想, 則
(
I
:
J
)
{\displaystyle (I:J)}
也是除子理想。
一個整環稱為Mori 整環 , 如果其全體除子理想的集合滿足升鏈條件 。
參考文獻
Chapter 9 of Atiyah, Michael Francis; Macdonald, I.G., Introduction to Commutative Algebra, Westview Press, 1994, ISBN 978-0-201-40751-8
Chapter VII.1 of Bourbaki, Nicolas, Commutative algebra 2nd, Springer Verlag, 1998, ISBN 3-540-64239-0
Chapter 11 of Matsumura, Hideyuki, Commutative Ring theory, Cambridge Studies in Advanced Mathematics 8 2nd, Cambridge University Press, 1989, ISBN 978-0-521-36764-6 , MR 1011461