代數分式

代數分式是指分子及分母都是代數式的分數，像 ${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 及 ${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$. 都是代數分式。

有理分式是指分子及分母都是多項式的分式，像${\frac {3x}{x^{2}+2x-3}}$ 為有理分式，但${\frac {\sqrt {x+2}}{x^{2}-3}}$ 的分子為根式，不是多項式，因此不是有理分式。

術語

在代數分式 ${\tfrac {a}{b}}$中，被除數稱為分子，除數稱為分母，兩者都是代數分式的項。

若代數分式的分子或分母中包括複數，則稱為複數分式。

簡分式是其分子或分母都不是分式的代數分式，若一個表示式不是以分式的形式表示，則稱為整式，不過只要將分母設為1，即可以將整式表示為代數分式，帶分式指整式和分式的代數和。

有理分式

主條目：有理函數

若代理分式的a和b都是多項式，此分式稱為有理代數分式，或簡稱為有理分式。有理分式也稱為有理表示式或有理函數。若有理分式 ${\tfrac {f(x)}{g(x)}}$ 滿足$\deg f(x)<\deg g(x)$，稱為真分式，否則稱為假分式，像${\tfrac {2x}{x^{2}-1}}$為真分式，而${\tfrac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}$ 和 ${\tfrac {x^{2}-x+1}{5x^{2}+3}}$ 是假分式。假分式可以表示為整式（可能是常數）及真分式的和，例如以上提到的假分式可以表示為

${\frac {x^{3}+x^{2}+1}{x^{2}-5x+6}}=(x+6)+{\frac {24x-35}{x^{2}-5x+6}},$

其中第二項為真有理分式，二個真分式的和也會是真分式，有時會將真分式的分母因式分解，再將真分式表示數個真因式，其分母分別為原分母的因式（或因式次方），這稱為部份分式，例如以下等號右邊的即為部份分式

${\frac {2x}{x^{2}-1}}={\frac {1}{x-1}}+{\frac {1}{x+1}}.$

因此等號右邊的稱為部份分式，例如真分式積分時會先進行部分分式分解，再進行積分，稱為部分分式積分法。

無理分式

無理分式是指分式中有變數的冪式為小數，像以下的分式即為無理分式

${\frac {x^{\tfrac {1}{2}}-{\tfrac {1}{3}}a}{x^{\tfrac {1}{3}}-x^{\tfrac {1}{2}}}}.$

將無理分式變為有理分式的過程稱為有理化，每個根式為單項的無理分式可以用以下的方式有理化：找到所有冪次分母的最小公倍數，再將變數用另一變數的冪次取代，使原來的根式都變為新變數的整數冪次，例如在上式中，冪次分母的最小公倍數為6，因此可以令 $x=z^{6}$ ，得到

${\frac {z^{3}-{\tfrac {1}{3}}a}{z^{2}-z^{3}}}.$

參考資料

Brink, Raymond W. IV. Fractions. College Algebra. 1951.