平面內的兩個輻射源，用數學函數 ƒ 給出，藍色區域函數值為零。 所產生的場 A 的實部 ，A 為非齊次解亥姆霍茲方程
(
∇
2
+
k
2
)
A
=
−
f
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})A=-f}
亥姆霍茲方程 （英語：Helmholtz equation 赫爾曼·馮·亥姆霍茲 的名字命名，表示拉普拉斯算子的特徵值問題，其基本形式如下：
(
∇
2
+
k
2
)
f
=
0
{\displaystyle (\nabla ^{2}+k^{2})f=0}
其中
∇
2
{\displaystyle \nabla ^{2}}
拉普拉斯算子 ，
k
{\displaystyle k}
波數 ，
f
{\displaystyle f}
特徵函數 。
在光學中，亥姆霍茲方程是一個描述電磁波 的橢圓偏微分方程 ；在量子力學中，亥姆霍茲方程應用於描述波函數的傳播和干涉。
亥姆霍茲方程通常出現在涉及同時存在空間和時間依賴的偏微分方程 的物理問題的研究中，例如波動方程 或薛丁格方程 。
考慮波動方程：
(
∇
2
−
1
c
2
∂
2
∂
t
2
)
u
(
r
,
t
)
=
0.
{\displaystyle \left(\nabla ^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial {t}^{2}}}\right)u(\mathbf {r} ,t)=0.}
假定
u
(
r
,
t
)
{\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)}
u
(
r
,
t
)
=
A
(
r
)
T
(
t
)
.
{\displaystyle u(\mathbf {r} ,t)=A(\mathbf {r} )T(t).}
將此形式代入波動方程，化簡得到下列方程：
∇
2
A
A
=
1
c
2
T
d
2
T
d
t
2
.
{\displaystyle {\nabla ^{2}A \over A}={1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}.}
注意左邊的表達式只取決於 r ，而右邊的表達式只取決於 t 。其結果是，若且唯若等式兩邊都等於恆定值時，該方程在一般情況下成立。從這一觀察中，可以得到兩個方程：
∇
2
A
A
=
−
k
2
1
c
2
T
d
2
T
d
t
2
=
−
k
2
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}{\nabla ^{2}A \over A}&=-k^{2}\\{1 \over c^{2}T}{d^{2}T \over dt^{2}}&=-k^{2}\end{array}}}
在不失一般性的情況下，選擇 −k 2 這個表達式作為這個常值。（使用任何常數 k 作為分離常數都同樣有效；選擇 −k 2 只是為了求解方便。）
調整第一個方程，可以得到亥姆霍茲方程：
∇
2
A
+
k
2
A
=
(
∇
2
+
k
2
)
A
=
0.
{\displaystyle \nabla ^{2}A+k^{2}A=(\nabla ^{2}+k^{2})A=0.}
同樣，在用
ω
=
d
e
f
k
c
{\textstyle \omega {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}kc}
d
2
T
d
t
2
+
ω
2
T
=
(
d
2
d
t
2
+
ω
2
)
T
=
0
,
{\displaystyle {\frac {d^{2}{T}}{d{t}^{2}}}+\omega ^{2}T=\left({d^{2} \over dt^{2}}+\omega ^{2}\right)T=0,}
其中 k 是波數，ω 是角頻率。注意到現在有了空間變量
x
{\displaystyle {\boldsymbol {x}}}
常微分方程 。時間解是一個正弦 和餘弦 函數的線性組合 ，而空間解的形式依賴於具體問題的邊界條件 。經常可以使用拉普拉斯變換 或者傅立葉變換 這樣的積分變換 將雙曲的偏微分方程轉化為亥姆霍茲方程的形式。
因為它和波動方程的關係，亥姆霍茲方程在物理學中電磁輻射 、地震學 和聲學 等相關研究領域裡有著廣泛應用。
[
d
2
d
r
2
+
k
2
]
ψ
=
0
{\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}\right]\psi =0}
假設
e
a
r
{\displaystyle e^{ar}}
a
2
+
k
2
=
0
{\displaystyle a^{2}+k^{2}=0}
解得
a
=
±
i
k
{\displaystyle a=\pm ik}
ψ
(
r
)
=
C
1
e
−
i
k
r
+
C
2
e
i
k
r
{\displaystyle \psi (r)=C_{1}e^{-ikr}+C_{2}e^{ikr}}
球坐標中的拉普拉斯算子 可以表示為：
∇
2
=
∇
r
2
+
∇
Ω
2
r
2
=
1
r
2
∂
∂
r
(
r
2
∂
u
∂
r
)
+
1
r
2
sin
θ
∂
∂
θ
(
sin
θ
∂
u
∂
θ
)
+
1
r
2
sin
2
θ
∂
2
u
∂
ϕ
2
,
{\displaystyle \nabla ^{2}=\nabla _{r}^{2}+{\frac {\nabla _{\Omega }^{2}}{r^{2}}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial }{\partial r}}\left(r^{2}{\frac {\partial u}{\partial r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}{\frac {\partial }{\partial \theta }}\left(\sin \theta {\frac {\partial u}{\partial \theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \phi ^{2}}},}
則可以得到：
(
r
2
∇
r
2
+
k
2
r
2
−
∇
Ω
2
)
ψ
=
0.
{\displaystyle (r^{2}\nabla _{r}^{2}+k^{2}r^{2}-\nabla _{\Omega }^{2})\psi =0.}
令
ψ
(
r
)
=
R
(
r
)
Y
(
r
^
)
{\displaystyle \psi (\mathbf {r} )=R(r)Y({\hat {\mathbf {r} }})}
∇
Ω
2
Y
(
r
^
)
=
−
l
(
l
+
1
)
Y
(
r
^
)
,
[
r
2
∇
r
2
+
k
2
r
2
−
l
(
l
+
1
)
]
R
(
r
)
=
0.
{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\nabla _{\Omega }^{2}Y({\hat {\mathbf {r} }})=-l(l+1)Y({\hat {\mathbf {r} }}),\\\left[r^{2}\nabla _{r}^{2}+k^{2}r^{2}-l(l+1)\right]R(r)=0.\end{array}}}
上式的解為球諧函數 ，下式可轉化為球貝塞爾方程進行求解，則三維亥姆霍茲的通解可表示為：
ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
∑
l
,
m
[
A
l
,
m
j
l
(
k
r
)
+
B
l
,
m
y
l
(
k
r
)
]
Y
l
,
m
(
θ
,
ϕ
)
.
{\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l,m}[A_{l,m}j_{l}(kr)+B_{l,m}y_{l}(kr)]Y_{l,m}(\theta ,\phi ).}
考慮物理意義，當
r
→
0
{\displaystyle r\to 0}
y
l
(
k
r
)
{\displaystyle y_{l}(kr)}
B
l
,
m
=
0
{\displaystyle B_{l,m}=0}
ψ
(
r
,
θ
,
ϕ
)
=
∑
l
,
m
A
l
,
m
j
l
(
k
r
)
Y
l
,
m
(
θ
,
ϕ
)
.
{\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l,m}A_{l,m}j_{l}(kr)Y_{l,m}(\theta ,\phi ).}
上式也可表達為平面波的形式。
Riley, K.F., Hobson, M.P., and Bence, S.J. Mathematical methods for physics and engineering ISBN 0-521-89067-5
![{\displaystyle \left[{\frac {\mathrm {d} ^{2}}{\mathrm {d} r^{2}}}+k^{2}\right]\psi =0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/696f93823ef1f81ad49d001f8fb0eb9ca8e831e7)
![{\displaystyle {\begin{array}{lcl}\nabla _{\Omega }^{2}Y({\hat {\mathbf {r} }})=-l(l+1)Y({\hat {\mathbf {r} }}),\\\left[r^{2}\nabla _{r}^{2}+k^{2}r^{2}-l(l+1)\right]R(r)=0.\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4ccb5bddea4b5fa194e0dacb851c31dee3993b41)
![{\displaystyle \psi (r,\theta ,\phi )=\sum _{l,m}[A_{l,m}j_{l}(kr)+B_{l,m}y_{l}(kr)]Y_{l,m}(\theta ,\phi ).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/495253364b0ffb54266262da3ad6fd953a9a39b2)
