交錯多項式

代數中，交錯多項式（alternating polynomial）是多項式 $f(x_{1},\dots ,x_{n})$ ，使得交換任意兩個變量，多項式的符號發生變化：

f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}).

等價地，排列變量時，多項式的值會因排列的符號而改變：

f\left(x_{\sigma (1)},\dots ,x_{\sigma (n)}\right)=\mathrm {sgn} (\sigma )f(x_{1},\dots ,x_{n}).

更一般地說，若交換 $x_{i}$ 中任意兩個變量會改變符號、而交換 $y_{j}$ 則保持不變，就稱多項式 $f(x_{1},\dots ,x_{n},y_{1},\dots ,y_{t})$ 在 $x_{1},\dots ,x_{n}$ 中交錯。^[1]

與對稱多項式的關係

對稱多項式與交錯多項式（具有相同的變量 $x_{1},\dots ,x_{n}$ ）之積有如下表現：

兩對稱多項式之積仍是對稱的；
對稱多項式與交錯多項式之積是交錯的；
兩交錯多項式之積是對稱的。

這正是奇偶性的加法表，「對稱」對應「偶」，「交錯」對應「奇」。於是，對稱多項式與交錯多項式的直和構成了超代數（ $\mathbf {Z} _{2}$ -分次代數），其中對稱多項式是偶部，交錯多項式是奇部。分次與多項式的次數無關。

交錯多項式在對稱多項式代數上形成了模（超代數的奇部是偶部上的模）；事實上，它是秩為1的自由模，以n元范德蒙多項式為生成子。

若係數環的特徵為2，則這兩個概念沒有區別，即交錯多項式就是對稱多項式。

范德蒙多項式

基本交錯多項式是范德蒙多項式：

v_{n}=\prod _{1\leq i<j\leq n}(x_{j}-x_{i}).

這顯然是交錯的，交換兩變量會改變其中一項的符號，而不改變其他項的符號。^[2]

交錯多項式正是范德蒙多項式乘以對稱多項式： $a=v_{n}\cdot s$ ，其中s是對稱多項式。這是因為：

$v_{n}$ 是每個交錯多項式的因式： $(x_{j}-x_{i})$ 是每個交錯多項式的因式，因為如果 $x_{i}=x_{j}$ ，則多項式為零（交換它們不會改變多項式，所以得到

f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n})=f(x_{1},\dots ,x_{j},\dots ,x_{i},\dots ,x_{n})=-f(x_{1},\dots ,x_{i},\dots ,x_{j},\dots ,x_{n}),

於是

(x_{j}-x_{i})

是因式），於是

v_{n}

是因式。

交錯多項式乘以對稱多項式仍是交錯多項式，於是 $v_{n}$ 的所有倍數都是交錯多項式。

相反，兩交錯多項式相除是（可能有理的）對稱多項式（不必是多項式），而交錯多項式除以范德蒙多項式是多項式。舒爾多項式就是這樣定義的，即交錯多項式除以范德蒙多項式。

環結構

因此，用 $\Lambda _{n}$ 表示對稱多項式環，則對稱與交錯多項式環是 $\Lambda _{n}[v_{n}]$ ，更精確地說是 $\Lambda _{n}[v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle$ ，其中 $\Delta =v_{n}^{2}$ 是對稱多項式，即判別式。

也就是說，對稱與交錯多項式環是對稱多項式環的2次擴張，其中伴隨了一個判別式的平方根。

或者說，是

R[e_{1},\dots ,e_{n},v_{n}]/\langle v_{n}^{2}-\Delta \rangle .

若2不可逆，情況就有些不同，必須使用不同的多項式 $W_{n}$ ，得到不同的關係。見Romagny。

表示論

從表示論視角來看，對稱與交錯多項式是對稱群在n元多項式環的n個字母上的作用的子表示。（形式上，對稱群作用於n個字母，因此也作用於導出對象，如n個字母上的自由對象——多項式環之類。）

對稱群有2個1維表示：平凡表示與符號表示。對稱多項式是平凡表示，交錯多項式是符號表示。形式上，任何對稱（或交錯）多項式的純量跨度（scalar span）是對稱群的平凡（或符號）表示，多項式的乘法張量就是表示。

特徵為2時，這些並不是不同的表示，分析就複雜了。

若 $n>2$ ，對稱群對多項式環的作用還有其他子表示，這在對稱群表示定理中有討論。

不穩定

交錯多項式是不穩定的現象：n元對稱多項式環可從任意多元對稱多項式環得到，方法是計算 $x_{n}$ 以上的變量對應的值設為0，因此對稱多項式的定義是「穩定」或「兼容」的。然而，交錯多項式，尤其范德蒙多項式卻並非如此。

另見

注釋

^ Giambruno & Zaicev (2005)，第12頁.
^ 對其他項，只是重排了： $n=3$ 情形，交換 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 會將 $(x_{2}-x_{1})$ 變為 $(x_{1}-x_{2})=-(x_{2}-x_{1})$ ，並將 $(x_{3}-x_{1})$ 與 $(x_{3}-x_{2})$ 互換，但不改變其符號。