在抽象代數中，交錯代數（英語：Alternative algebra）是乘法不滿足結合性，僅滿足交錯性的代數。也就是說，我們有：
對於所有代數中的x和y。每一個結合代數都顯然是交錯的，但有些嚴格的非結合代數，例如八元數，也是交錯的。另一方面，十六元數則不是交錯的。
結合子
交錯代數之所以這樣命名，是因為它們正好是結合子交錯的代數。結合子是一個三線性映射，由下式給出：
![{\displaystyle [x,y,z]=(xy)z-x(yz)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7ef1dd4cbc4e3e9a80e2ec6866d1294ef04efe97)
根據定義，一個多線性映射是交錯的，如果只要兩個自變量相等，映射便為零。一個代數的左交錯和右交錯恆等式等價於：
![{\displaystyle [x,x,y]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8a1374960ee08cdee5d041c68cab56a4997b5ea)
![{\displaystyle [y,x,x]=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/beeab85c1f13c8a8fd1653b39fd5bd6b718306ec)
兩個恆等式在一起，便意味著結合子是完全斜對稱的。也就是說：
![{\displaystyle [x_{\sigma (1)},x_{\sigma (2)},x_{\sigma (3)}]=\operatorname {sgn}(\sigma )[x_{1},x_{2},x_{3}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bae2b45897eaef18c2bc50d102fc7f2888ab884)
對於任何置換σ。於是可以推出：
![{\displaystyle [x,y,x]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b4524ce3f04a28c8e5bc542173a6223f00b0412f)
對於所有的x和y。這等價於所謂的柔性恆等式：
因此結合子是交錯的。反過來，任何一個結合子交錯的代數顯然是交錯代數。根據對稱性，任何一個代數，只要滿足以下三個恆等式中的兩個：
- 左交錯恆等式：
- 右交錯恆等式：
- 柔性恆等式：
這個代數便是交錯的，因此三個恆等式都滿足。
一個交錯的結合子總是完全斜對稱的。反過來也成立，只要基域的特徵不是2。
性質
阿廷定理說明，在交錯代數中，由任何兩個元素生成的子代數是結合的。反過來，任何滿足這個條件的代數顯然是交錯的。於是可以推出，在交錯代數中，只含有兩個變量的表達式可以不用括號寫出，而又沒有歧義。阿廷定理的一個推廣說明，如果交錯代數中的三個元素
是結合的（也就是說，![{\displaystyle [x,y,z]=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/95cef9c8a4542f9ded3ac917172894e992a8f533)
），那麼由這些元素所生成的子代數是結合的。
阿廷定理的一個推論是，交錯代數都是冪結合的，也就是說，由一個元素所生成的子代數是結合的。反過來不一定成立：十六元數是冪結合的，但不是交錯的。
穆方恆等式
在任何交錯代數中都成立。
在一個單式交錯代數中，如果乘法逆存在，那麼它一定是唯一的。更進一步，對於任何可逆的元素
和所有的
，都有：
這等於是說，對於所有這類的和，結合子![{\displaystyle [x^{-1},x,y]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b240bc5bf9c148e84b2502f1442c3931f5654e4)
都是零。如果和是可逆的，那麼
也是可逆的，其乘法逆為
。因此，所有可逆的元素所組成的集合在乘法運算下封閉，並形成了一個穆方圈。在交錯環或代數中，這個單位元素圈與結合環或代數中的單位元素群是類似的。
應用
任何交錯的除環上的射影平面都是穆方平面。
參考文獻
