九點圓定理

九點圓

九點圓定理指出：在平面中，對所有三角形，其三邊的中點、三高的垂足、頂點到垂心的三條線段的中點，必然共圓，這個圓被稱為九點圓，又稱歐拉圓、費爾巴哈圓。

九點圓具有以下性質：

• 九點圓的半徑是外接圓的一半。
• 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。
• 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。
• 圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓（柯立芝-大上定理）。

歷史

1765年，萊昂哈德·歐拉證明：「垂心三角形和垂足三角形有共同的外接圓（六點圓）。」許多人誤以為九點圓是由歐拉發現所以又稱乎此圓為歐拉圓。而第一個證明九點圓的人是彭賽列（1821年）。1822年，卡爾·威廉·費爾巴哈也發現了九點圓，並得出「九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切」，因此德國人稱此圓為費爾巴哈圓，並稱這四個切點為費爾巴哈點。柯立芝與大上茂喬（Shigetaka Ooue）分別於1910年與1916年發表「圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。」這個圓還被稱為四邊形的九點圓，此結果還可推廣到n邊形。

九點圓證明

如圖：$D$、$E$、$F$為三邊的中點，$G$、$H$、$I$為垂足，$J$、$K$、$L$為和頂點到垂心的三條線段的中點。

• 容易得出$\triangle ABS\sim \triangle AFJ$、$\triangle CBS\sim \triangle CDL$（$SAS$相似）

• 因此${\overline {FJ}}//{\overline {BH}}//{\overline {DL}}$

• 同樣可得出$\triangle ABC\sim \triangle FBD$、$\triangle ASC\sim \triangle JSL$（$SAS$相似）

• 因此${\overline {FD}}//{\overline {AC}}//{\overline {JL}}$

• 又${\overline {BH}}\perp {\overline {AC}}$，可得出四邊形$DFJL$是矩形（四點共圓）

• 同理可證$FKLE$也是矩形（$DKFJEL$共圓）

• $\angle JLD=\angle JGD=90^{\circ }$，因此可知$G$也在圓上（圓周角相等）

• 同理可證$H$、$I$兩點也在圓上（九點共圓）

性質證明

九點圓的半徑是外接圓的一半，且九點圓平分垂心與外接圓上的任一點的連線。

• 在直角坐標系中，已知圓的方程為$(x-x_{0})^{2}+(y-y_{0})^{2}=r^{2}$，其中$r$為圓的半徑，$(x_{0},y_{0})$為圓的圓心坐標。若做圓上三點與點$(x_{S},y_{S})$的中點的軌跡，則此軌跡的方程式為：

$\left(x-{\frac {x_{0}+x_{S}}{2}}\right)^{2}+\left(y-{\frac {y_{0}+y_{S}}{2}}\right)^{2}=\left({\frac {r}{2}}\right)^{2}$

• 設$r$為外接圓的半徑、$(x_{0},y_{0})$為外接圓的圓心坐標、點$(x_{S},y_{S})$為垂心坐標。
• 已知九點圓通過頂點到垂心的三條線段的中點，故此軌跡圓就是九點圓，半徑是外接圓的一半，且平分垂心與外接圓上的任一點的連線。
• 同時還可以得出下面的性質：

• 圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。由此可知，給定三角形頂點座標，九點圓圓心為

$\left({\frac {\begin{vmatrix}x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2\left(x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}\right)&y_{1}&1\\x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-2\left(x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}\right)&y_{2}&1\\x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)&y_{3}&1\\\end{vmatrix}}{4{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}},{\frac {\begin{vmatrix}x_{1}&x_{1}^{2}+y_{1}^{2}-2\left(x_{2}x_{3}+y_{2}y_{3}\right)&1\\x_{2}&x_{2}^{2}+y_{2}^{2}-2\left(x_{3}x_{1}+y_{3}y_{1}\right)&1\\x_{3}&x_{3}^{2}+y_{3}^{2}-2\left(x_{1}x_{2}+y_{1}y_{2}\right)&1\\\end{vmatrix}}{4{\begin{vmatrix}x_{1}&y_{1}&1\\x_{2}&y_{2}&1\\x_{3}&y_{3}&1\end{vmatrix}}}}\right)$

• 九點圓和三角形的內切圓和旁切圓相切（費爾巴哈定理）。

主條目：費爾巴哈定理

• 圓周上四點任取三點做三角形，四個三角形的九點圓圓心共圓。

其他

• 垂心四面體的12點共球九點圓是垂心四面體各棱的中點和垂足（相對於對棱）共球的特例，兩者是同構的
• 主旁心三角形的九點圓是三角形的外接圓
• 中點三角形的外接圓是三角形的九點圓
• 三線坐標中，九點圓的座標為$\cos(B-C)\,:\,\cos(C-A)\,:\,\cos(A-B)$
• 三線坐標中，費爾巴哈點的座標為$1-\cos(B-C)\,:\,1-\cos(C-A)\,:\,1-\cos(A-B)$

參見條目

• 萊昂哈德·歐拉
• 卡爾·威廉·費爾巴哈

參考資料

• 幾何明珠 ISBN 957-603-197-4
• [1]
• 幾何寶庫（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• [2]（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
• Feuerbach's Theorem: a Proof（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）