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σ-有限測度

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σ-有限測度測度論中的一個概念。對測度空間 來說,若測度 其對任意 的取值 是一個有限的實數(而不是無窮大),那麼就稱這個測度為有限測度。若有限測度的母集合 可表示為 的某可測集合序列 聯集

則麼就稱這個測度為σ-有限測度[1]:24。進一步的,如果 的某個子集能夠表示為 之中的某可測集合序列的聯集,那麼也稱這個子集擁有σ-有限測度。

例子

  • 勒貝格測度:實數集上的勒貝格測度不是有限測度,因為整個實數軸的「長度」,也就是全集的測度是無窮大。但是,勒貝格測度是σ-有限測度,因為可以表示為所有形如區間的聯集,而每個區間的測度都是有限的(等於):
    [1]:24
  • 計數測度:實數集上的計數測度,是將任何的子集的元素「個數」作為測度值的測度:含有無窮多個元素的子集的測度就是無窮大[2]:20-21。這個測度不是σ-有限測度,因為實數集是不可數的,它不能表示成可數個只包含有限個元素的子集的聯集[2]:30。不過,自然數集上的計數測度就是σ-有限測度[2]:29,因為全集可以(很自然地)表示成可數個測度為1的子集的聯集:
  • 局部緊群:設是一個局部緊的拓撲群,並且是σ-緊緻的,那麼群上的哈爾測度σ-有限測度[3]:42

性質

σ-有限測度中,全集可以表示為中的可數個有限測度子集的聯集:,但實際上表示的方法可以不止一種。比如說,令

那麼,也就是說也是一系列有限測度的子集,並且,所以。隨著下標增大,的測度越來越大,趨向正無窮大,並且。這稱為全集的升序表示。而如果令:

那麼也是一系列測度有限,並且兩兩不相交的集合(交集為空集),並且被稱為全集的一個劃分,或者稱為全集的不交覆蓋。

半有限和一致σ-有限

σ-有限測度的概念相關的概念還有半有限測度一致σ-有限測度。一致σ-有限測度是一類特殊的σ-有限測度。它不僅要求全集能夠表示為中的可數個有限測度子集的聯集:,而且要求存在一個正實數,使得這些子集的測度(的絕對值)都小於等於

勒貝格測度和自然數集上的計數測度都是一致σ-有限測度。但並非所有的σ-有限測度都是一致σ-有限測度。比如說自然數集上如下定義的σ-有限測度

就不是一致σ-有限測度[2]:30

半有限測度則是比σ-有限測度更寬泛的一種定義。如果上的一個測度中,任意一個測度為無窮大的子集都包含有測度為任意大有限值的子集,那麼就說這個測度是半有限測度。任何的σ-有限測度都是半有限測度,只要考慮它的升序表示,但反之則不然。比如說實數集上的計數測度就是半有限測度,但它並不是σ-有限測度[2]:30

與機率測度的等價性

給定,其上的任何σ-有限測度等價於一個的機率測度。具體的構造方法是:令為全集的一個不交覆蓋(劃分),並且每個下的測度都是有限的;再令為一個由正實數構成的數列,並且級數

那麼以下方式定義的測度

就是一個與等價的機率測度,因為兩者有著相同的零測集

參見

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 (英文)Vladimir I. Bogachev. Measure Theory. Springer. 2007. ISBN 9783540345145. 
  2. ^ 2.0 2.1 2.2 2.3 2.4 (英文)Carlos S. Kubrusly. Measure Theory: A First Course. Gulf Professional Publishing,插圖版. 2007. ISBN 9780123708991. 
  3. ^ (英文)A. B. Kharazishvili. Topics in Measure Theory and Real Analysis. Springer. 2009. ISBN 9789491216367.