最短路径快速算法

最短路径快速算法（英语：Shortest Path Faster Algorithm (SPFA)），国际上一般认为是带有队列优化的Bellman-Ford 算法，一般仅在中国大陆被称为SPFA，是一个用于求解有向带权图单源最短路径的算法。这一算法在随机的稀疏图上表现出色，并且适用于带有负边权的图。^[1] 然而SPFA在最坏情况的时间复杂度与 Bellman-Ford 算法相同，因此在非负边权的图中使用堆优化的Dijkstra 算法效率可能优于SPFA。^[2] SPFA算法首先在1959年由Edward F. Moore（英语：Edward F. Moore）作为广度优先搜索的扩展发表^[3]，相同算法在1994年由段凡丁重新发现。^[4]

算法

给定一个有向带权图 $G=(V,E)$ 和一个源点 $s$ ，SPFA算法可以计算从 $s$ 到图中每个节点 $v$ 的最短路径。其基本思路与 Bellman-Ford 算法相同，即每个节点都被用作用于松弛其相邻节点的备选节点。但相较于 Bellman-Ford 算法，SPFA算法的先进之处在于它并不盲目地尝试所有节点，而是维护一个备选的节点队列，并且仅有节点被松弛后才会将其放入队列中。整个流程不断重复，直至没有节点可以被松弛。

下面是这个算法的伪代码。^[5]这里的 $Q$ 是一个备选节点的先进先出队列， $w(u,v)$ 是边 $(u,v)$ 的权值。

一个基于欧氏几何距离的SPFA算法。红线是当前状态下的各条最短路径。蓝线表示松弛发生的地方，也即通过在 $Q$ 中用节点 $u$ 连接 $v$ 可以给出一条从源点到 $v$ 更短的路径

 procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s)
  1    for each vertex v ≠ s in V(G)
  2        d(v) := ∞
  3    d(s) := 0
  4    offer s into Q
  5    while Q is not empty
  6        u := poll Q
  7        for each edge (u, v) in E(G)
  8            if d(u) + w(u, v) < d(v) then
  9                d(v) := d(u) + w(u, v)
 10                if v is not in Q then
 11                    offer v into Q

对于无向图，将每条无向边视作两条有向边以采用 SPFA 算法。

最坏情况下的性能

下面是一种触发该算法低性能表现的数据构造方式。假设要求从节点1到节点 $n$ 的最短路径。对于整数 $1\leq i<n$ ，考虑添加边 $(i,i+1)$ 并令其权为一个随机的小数字（于是最短路应为1-2-...- $n$ ），同时随机添加 $4n$ 条其他的权较大的边。在这种情况下，SPFA算法的性能表现将会非常低下。^[1]

SPFA算法本质上依然被认为是Bellman-Ford算法的一个特例，因此一般认为SPFA算法的最差复杂度是 $O(|V|\cdot |E|)$ ，其中 $|V|$ 为点数， $|E|$ 为边数。^[1]

NOI2018中，出题人使用特殊构造图卡到SPFA算法的最坏情况，并在讲题时在幻灯片上打出关于“SPFA它死了”的字样，导致现今很多中国大陆OI题目都会构造特殊数据卡掉SPFA，于是关于SPFA已死的说法广泛流传于中国大陆。^{[原创研究？]}

优化技巧

SPFA算法的性能很大程度上取决于用于松弛其他节点的备选节点的顺序。事实上，如果 $Q$ 是一个优先队列，则这个算法将很类似于Dijkstra 算法。然而尽管这一算法中并没有用到优先队列，仍有多种可用的技巧可以用来提升队列的质量，借此能够提高平均性能（但仍无法提高最坏情况下的性能）。其中，最著名的两种技巧通过重新调整 $Q$ 中元素的顺序从而使得更靠近源点的节点能够被更早地处理。因此一旦实现了这两种技巧， $Q$ 将不再是一个先进先出队列，而更像一个链表或双端队列。

距离小者优先 （Small Label First(SLF)）（由Bertsekas在Networks, 第23期, 1993, P703-P709中最先提出)。在伪代码的第十一行，将总是把 $v$ 压入队列尾端修改为比较 $d(v)$ 和 $d{\big (}{\text{front}}(Q){\big )}$ ，并且在 $d(v)$ 较小时将 $v$ 压入队列的头端。这一技巧的伪代码如下（这部分代码插入在上面的伪代码的第十一行后）：

 procedure Small-Label-First(G, Q)
     if d(back(Q)) < d(front(Q)) then
         u := pop back of Q
         push u into front of Q

距离大者置后 （Large Label Last(LLL)）（由Bertsekas、Guerriero、与Musmanno在JOTA, 第88期, 1996, 页297-320最先提出)。在伪代码的第十一行，我们更新队列以确保队列头端的节点的距离总小于平均，并且任何距离大于平均的节点都将被移到队列尾端。伪代码如下：

 procedure Large-Label-Last(G, Q)
     x := average of d(v) for all v in Q
     while d(front(Q)) > x
         u := pop front of Q
         push u to back of Q

参考文献

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 About the so-called SPFA algorithm. [2018-05-25]. （原始内容存档于2020-11-17）.
^ SPFA算法（页面存档备份，存于互联网档案馆）
^ Moore, Edward F. Proceedings of the International Symposium on the Theory of Switching. Harvard University Press: 285–292. 1959. |contribution=被忽略 (帮助) SPFA is Moore's “Algorithm D”.
^ Duan, Fanding, 关于最短路径的SPFA快速算法, 西南交通大学学报 [Journal of Southwest Jiaotong University], 1994, 29 (2): 207–212 [2018-05-25], （原始内容存档于2019-04-25）
^ 存档副本. [2018-05-25]. （原始内容存档于2021-01-16）.

扩展阅读

夏正冬; 卜天明; 张居阳. SPFA算法的分析及改进. 《电脑科学》. 2014, 41 (6): 180–184 [2020-11-17]. （原始内容存档于2020-12-08）.

[poj-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 About the so-called SPFA algorithm. [2018-05-25]. （原始内容存档于2020-11-17）.

[nocow-2] SPFA算法（页面存档备份，存于互联网档案馆）

[3] Moore, Edward F. Proceedings of the International Symposium on the Theory of Switching. Harvard University Press: 285–292. 1959. |contribution=被忽略 (帮助) SPFA is Moore's “Algorithm D”.

[duan-4] Duan, Fanding, 关于最短路径的SPFA快速算法, 西南交通大学学报 [Journal of Southwest Jiaotong University], 1994, 29 (2): 207–212 [2018-05-25], （原始内容存档于2019-04-25）

[codeforce-5] 存档副本. [2018-05-25]. （原始内容存档于2021-01-16）.

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