最短路徑快速算法

最短路徑快速算法（英語：Shortest Path Faster Algorithm (SPFA)），國際上一般認為是帶有隊列優化的Bellman-Ford 算法，一般僅在中國大陸被稱為SPFA，是一個用於求解有向帶權圖單源最短路徑的算法。這一算法在隨機的稀疏圖上表現出色，並且適用於帶有負邊權的圖。^[1] 然而SPFA在最壞情況的時間複雜度與 Bellman-Ford 算法相同，因此在非負邊權的圖中使用堆優化的Dijkstra 算法效率可能優於SPFA。^[2] SPFA算法首先在1959年由Edward F. Moore（英語：Edward F. Moore）作為廣度優先搜索的擴展發表^[3]，相同算法在1994年由段凡丁重新發現。^[4]

算法

給定一個有向帶權圖 $G=(V,E)$ 和一個源點 $s$ ，SPFA算法可以計算從 $s$ 到圖中每個節點 $v$ 的最短路徑。其基本思路與 Bellman-Ford 算法相同，即每個節點都被用作用於鬆弛其相鄰節點的備選節點。但相較於 Bellman-Ford 算法，SPFA算法的先進之處在於它並不盲目地嘗試所有節點，而是維護一個備選的節點隊列，並且僅有節點被鬆弛後才會將其放入隊列中。整個流程不斷重複，直至沒有節點可以被鬆弛。

下面是這個算法的偽代碼。^[5]這裡的 $Q$ 是一個備選節點的先進先出隊列， $w(u,v)$ 是邊 $(u,v)$ 的權值。

一個基於歐氏幾何距離的SPFA算法。紅線是當前狀態下的各條最短路徑。藍線表示鬆弛發生的地方，也即通過在 $Q$ 中用節點 $u$ 連接 $v$ 可以給出一條從源點到 $v$ 更短的路徑

 procedure Shortest-Path-Faster-Algorithm(G, s)
  1    for each vertex v ≠ s in V(G)
  2        d(v) := ∞
  3    d(s) := 0
  4    offer s into Q
  5    while Q is not empty
  6        u := poll Q
  7        for each edge (u, v) in E(G)
  8            if d(u) + w(u, v) < d(v) then
  9                d(v) := d(u) + w(u, v)
 10                if v is not in Q then
 11                    offer v into Q

對於無向圖，將每條無向邊視作兩條有向邊以採用 SPFA 算法。

最壞情況下的性能

下面是一種觸發該算法低性能表現的數據構造方式。假設要求從節點1到節點 $n$ 的最短路徑。對於整數 $1\leq i<n$ ，考慮添加邊 $(i,i+1)$ 並令其權為一個隨機的小數字（於是最短路應為1-2-...- $n$ ），同時隨機添加 $4n$ 條其他的權較大的邊。在這種情況下，SPFA算法的性能表現將會非常低下。^[1]

SPFA算法本質上依然被認為是Bellman-Ford算法的一個特例，因此一般認為SPFA算法的最差複雜度是 $O(|V|\cdot |E|)$ ，其中 $|V|$ 為點數， $|E|$ 為邊數。^[1]

NOI2018中，出題人使用特殊構造圖卡到SPFA算法的最壞情況，並在講題時在幻燈片上打出關於「SPFA它死了」的字樣，導致現今很多中國大陸OI題目都會構造特殊數據卡掉SPFA，於是關於SPFA已死的說法廣泛流傳於中國大陸。^{[原創研究？]}

優化技巧

SPFA算法的性能很大程度上取決於用於鬆弛其他節點的備選節點的順序。事實上，如果 $Q$ 是一個優先隊列，則這個算法將很類似於Dijkstra 算法。然而儘管這一算法中並沒有用到優先隊列，仍有多種可用的技巧可以用來提升隊列的質量，藉此能夠提高平均性能（但仍無法提高最壞情況下的性能）。其中，最著名的兩種技巧通過重新調整 $Q$ 中元素的順序從而使得更靠近源點的節點能夠被更早地處理。因此一旦實現了這兩種技巧， $Q$ 將不再是一個先進先出隊列，而更像一個鍊表或雙端隊列。

距離小者優先 （Small Label First(SLF)）（由Bertsekas在Networks, 第23期, 1993, P703-P709中最先提出)。在偽代碼的第十一行，將總是把 $v$ 壓入隊列尾端修改為比較 $d(v)$ 和 $d{\big (}{\text{front}}(Q){\big )}$ ，並且在 $d(v)$ 較小時將 $v$ 壓入隊列的頭端。這一技巧的偽代碼如下（這部分代碼插入在上面的偽代碼的第十一行後）：

 procedure Small-Label-First(G, Q)
     if d(back(Q)) < d(front(Q)) then
         u := pop back of Q
         push u into front of Q

距離大者置後 （Large Label Last(LLL)）（由Bertsekas、Guerriero、與Musmanno在JOTA, 第88期, 1996, 頁297-320最先提出)。在偽代碼的第十一行，我們更新隊列以確保隊列頭端的節點的距離總小於平均，並且任何距離大於平均的節點都將被移到隊列尾端。偽代碼如下：

 procedure Large-Label-Last(G, Q)
     x := average of d(v) for all v in Q
     while d(front(Q)) > x
         u := pop front of Q
         push u to back of Q

參考文獻

^ ^1.0 ^1.1 ^1.2 About the so-called SPFA algorithm. [2018-05-25]. （原始內容存檔於2020-11-17）.
^ SPFA算法（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）
^ Moore, Edward F. Proceedings of the International Symposium on the Theory of Switching. Harvard University Press: 285–292. 1959. |contribution=被忽略 (幫助) SPFA is Moore's 「Algorithm D」.
^ Duan, Fanding, 关于最短路径的SPFA快速算法, 西南交通大學學報 [Journal of Southwest Jiaotong University], 1994, 29 (2): 207–212 [2018-05-25], （原始內容存檔於2019-04-25）
^ 存档副本. [2018-05-25]. （原始內容存檔於2021-01-16）.

擴展閱讀

夏正冬; 卜天明; 張居陽. SPFA算法的分析及改进. 《計算機科學》. 2014, 41 (6): 180–184 [2020-11-17]. （原始內容存檔於2020-12-08）.

[poj-1] 1.0 ^1.1 ^1.2 About the so-called SPFA algorithm. [2018-05-25]. （原始內容存檔於2020-11-17）.

[nocow-2] SPFA算法（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）

[3] Moore, Edward F. Proceedings of the International Symposium on the Theory of Switching. Harvard University Press: 285–292. 1959. |contribution=被忽略 (幫助) SPFA is Moore's 「Algorithm D」.

[duan-4] Duan, Fanding, 关于最短路径的SPFA快速算法, 西南交通大學學報 [Journal of Southwest Jiaotong University], 1994, 29 (2): 207–212 [2018-05-25], （原始內容存檔於2019-04-25）

[codeforce-5] 存档副本. [2018-05-25]. （原始內容存檔於2021-01-16）.

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