草稿:限制 (数学)

功能$x^{2}$与域名$\mathbb {R}$没有反函数。如果我们限制$x^{2}$到非负实数，那么它有一个反函数，称为平方根$x.$

在数学中，映射的限制 $f$ 是一个新的映射，记作 $f\vert _{A}$ 或者 $f{\upharpoonright _{A}}$ ，它是通过为原来的映射 $f$ 选择一个更小的定义域 $A$ 来得到的。反过来，也称映射 $f$ 是映射 $f\vert _{A}$ 的扩张。

正式定义

设 $f:E\to F$ 是一个集合 $E$ 到集合 $F$ 的映射。如果 $A$ 是 $E$ 的子集，那么称满足$$\forall x\in A,\quad {f|}_{A}(x)=f(x)$$的映射 $${f|}_{A}:A\to F$$ 是映射 $f$ 在 $A$ 上的限制。不正式地说， ${f|}_{A}$ 是和 $f$ 相同的映射，但只定义在 $A$ 上。

如果将映射 $f$ 看作一种在笛卡尔积 $E\times F$ 上的关系 $(x,f(x))$ ，然后 $f$ 在 $A$ 上的限制可以用它的图像来表示：

$G({f|}_{A})=\{(x,f(x))\in G(f):x\in A\}=G(f)\cap (A\times F),$

其中 $(x,f(x))$ 表示图像 $G$ 中的有序对。

扩张

映射 $F$ 称为另一映射的 $f$ 的扩张，当且仅当 $F{\big \vert }_{\operatorname {Dom} (f)}=f$ 。也就是说同时满足下面两个条件：

1. 属于 $f$ 之定义域的 $x$ 必然也在 $F$ 的定义域中，即 $\operatorname {Dom} (f)\subseteq \operatorname {Dom} (F)$ ；
2. $f$ 和 $F$ 在它们共同的定义域上的行为相同，即$\forall x\in \operatorname {Dom} (f),\quad f(x)=F(x)$ 。

数学上经常需要将一个具有指定性质的映射的定义域扩大，并要求扩张后的结果仍具有该性质。如寻找一个线性映射 $f$ 的扩张映射 $F$ ，且 $F$ 仍是线性的，这时说 $F$ 是 $f$ 的一个线性扩张，或者说；寻找一个连续映射 $f$ 的扩张映射 $F$ ，且 $F$ 仍连续，则称为进行了连续扩张；诸如此类。

例子

1. 非单射函数 $f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} :\ x\mapsto x^{2}$ 在域$\mathbb {R} _{+}=[0,\infty )$ 上的限制是$f:\mathbb {R} _{+}\to \mathbb {R} ,\ x\mapsto x^{2}$ ，而这是一个单射。
2. 将Γ函数限制在正整数集上，并将变量平移 $1$ ，就得到阶乘函数： ${\Gamma |}_{\mathbb {Z} ^{+}}\!(n)=(n-1)!$ 。

限制的性质

• 映射 $f:X\rightarrow Y$ 在其整个定义域 $X$ 上的限制即是原函数，即 $f|_{X}=f$ 。
• 对一个映射在限制两次与限制一次效果相同，只要最终的定义域一样。也就是说，若 $A\subseteq B\subseteq \operatorname {Dom} (f)$ ，则 $\left(f|_{B}\right)|_{A}=f|_{A}$ 。
• 集合 $X$ 上的恒等映射在集合 $A$ 上的限制即是 $A$ 到 $X$ 的包含映射。
• 连续函数的限制是连续的。

应用

反函数

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若某函数存在反函数，其映射必为单射。若映射 $f$ 非单射，可以限制其定义域以定义其一部分的反函数。如：

　　$f(x)=x^{2}$

因为 $x^{2}=(-x)^{2}$，故非单射。但若将定义域限制到 $x\geq {0}$ 时该映射为单射，此时有反函数

　　$f^{-1}(y)={\sqrt {y}}$

（若限制定义域至 $x\leq {0}$，输出 $y$ 的负平方根的函数为反函数。）另外，若允许反函数为多値函数，则无需限制原函数的定义域。

粘接引理

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点集拓扑学中的粘接引理联系了函数的连续性与限制函数的连续性。

设拓扑空间 $A$ 的子集 $X,\ Y$ 同时为开或闭，且满足 $A=X\cup {Y}$，设 $B$ 为拓扑空间。若映射 $f:A\to {B}$ 到 $X$ 及 $Y$ 的限制都连续，则 $f$ 也是连续的。

基于此结论，粘接在拓扑空间中的开或闭集合上定义的两个连续函数，可以得到一个新的连续函数。

层

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层将函数的限制推广到其他物件的限制。

层论中，拓扑空间$X$的每个开集$U$，有另一个范畴中的物件$F(U)$与之对应，其中要求$F$满足某些性质。最重要的性质是，若一个开集包含另一个开集，则对应的两个物件之间有限制态射，即若$V\subseteq U$，则有态射$\mathrm {res} _{V,U}:F(U)\to F(V)$，且该些态射应仿照函数的限制，满足下列条件：

1. 对$X$的每个开集$U$，限制态射$\mathrm {res} _{U,U}:F(U)\to F(U)$为$F(U)$上的恒等态射。
2. 若有三个开集$W\subseteq V\subseteq U$，则复合$\mathrm {res} _{W,V}\circ \mathrm {res} _{V,U}=\mathrm {res} _{W,U}$。
3. （局部性）若$(U_{i})$为某个开集$U$的开覆盖，且$s,t\in F(U)$满足：对所有$i$，$s\upharpoonright _{U_{i}}=t\upharpoonright _{U_{i}}$，则$s=t$。
4. （黏合) 若$(U_{i})$为某个开集$U$的开覆盖，且对每个$i$，给定截面$s_{i}\in F(U_{i})$，使得对任意两个$i,j$，都有$s_{i},s_{j}$在定义域重叠部分重合（即$s_{i}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}=s_{j}\upharpoonright _{U_{i}\cap U_{j}}$），则存在截面$s\in F(U)$使得对所有$i$，$s\upharpoonright _{U_{i}}=s_{i}$。

所谓拓扑空间$X$上的层，就是该些物件$F(U)$和态射$\mathrm {res} _{V,U}$组成的整体$(F,\mathrm {res} )$。若仅满足前两项条件，则称为预层。