魏尔斯特拉斯椭圆函数

在数学中，魏尔斯特拉斯椭圆函数（Weierstrass's elliptic functions）又称 p 函数并且以 $\wp$ 符号表示，是格外简单的一类椭圆函数，也是雅可比椭圆函数的特殊形式。卡尔·魏尔斯特拉斯首先研究了这些函数。

魏尔斯特拉斯p函数的符号

定义

固定 $\mathbb {C}$ 中的格 $\Lambda =\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2}$ （ $\omega _{1},\omega _{2}\in \mathbb {C}$ 在 $\mathbb {Q}$ 上线性无关），对应的魏尔斯特拉斯椭圆函数定义是

\wp (z;\Lambda )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{(m,n)\neq (0,0)}\left\{{\frac {1}{(z-m\omega _{1}-n\omega _{2})^{2}}}-{\frac {1}{\left(m\omega _{1}+n\omega _{2}\right)^{2}}}\right\}

。

显然右式只与格 $\Lambda \,$ 相关，无关于基 $\omega _{1},\omega _{2}\,$ 之选取。 $\Lambda \,$ 的元素也称作周期。

另一方面，格 $\Lambda \,$ 在取适当的全纯同态 $\mathbb {C} \to \mathbb {C}$ 后可表成 $\Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau$ ，其中 $\tau \,$ 属于上半平面。对于这种形式的格，

\wp (z;\Lambda )=\wp (z;\tau )={\frac {1}{z^{2}}}+\sum _{n^{2}+m^{2}\neq 0}{1 \over (z-n-m\tau )^{2}}-{1 \over (n+m\tau )^{2}}

。

反之，由此亦可导出对一般的格之公式

\wp (z;\mathbb {Z} \omega _{1}\oplus \mathbb {Z} \omega _{2})={\frac {\wp ({\frac {z}{\omega _{1}}};{\frac {\omega _{2}}{\omega _{1}}})}{\omega _{1}^{2}}}\quad (\mathrm {Im} ({\frac {\omega _{1}}{\omega _{2}}})>0)

在数值计算方面， $\wp$ 可以由Θ函数快速地计算，方程是

\wp (z;\tau )=\pi ^{2}\vartheta ^{2}(0;\tau )\vartheta _{10}^{2}(0;\tau ){\vartheta _{01}^{2}(z;\tau ) \over \vartheta _{11}^{2}(z;\tau )}-{\pi ^{2} \over {3}}\left[\vartheta ^{4}(0;\tau )+\vartheta _{10}^{4}(0;\tau )\right]

在周期格中的每个点， $\wp$ 有二阶极点。
$\wp$ 是偶函数。
复导函数 $\wp '$ 是奇函数。

加法定理

\det {\begin{pmatrix}\wp (z)&\wp '(z)&1\\\wp (y)&\wp '(y)&1\\\wp (z+y)&-\wp '(z+y)&1\end{pmatrix}}=0

假设 $u+v+w=0$ ，上式有一个较对称的版本

\det {\begin{pmatrix}\wp (u)&\wp '(u)&1\\\wp (v)&\wp '(v)&1\\\wp (w)&\wp '(w)&1\end{pmatrix}}=0

此外

\wp (z+y)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp '(z)-\wp '(y)}{\wp (z)-\wp (y)}}\right\}^{2}-\wp (z)-\wp (y).

魏尔斯特拉斯椭圆函数满足复制公式：若 $2z$ 不是周期，则

\wp (2z)={\frac {1}{4}}\left\{{\frac {\wp ''(z)}{\wp '(z)}}\right\}^{2}-2\wp (z),

微分方程与积分方程

定义 $g_{2},g_{3}$ （依赖于 $\Lambda$ ）为

g_{2}:=60\sum _{w\in \Lambda }'w^{-4}

g_{3}:=120\sum _{w\in \Lambda }'w^{-6}

求和符号 $\sum '_{w}$ 意谓取遍所有非零的 $w$ 。当 $\Lambda =\mathbb {Z} \oplus \mathbb {Z} \tau$ 时，它们可由艾森斯坦级数 $G_{4},G_{6}$ 表示。

则魏尔斯特拉斯椭圆函数满足微分方程

\wp '(z)^{2}=4\wp (z)^{3}-g_{2}\wp (z)-g_{3}

。

故 $z\mapsto (\wp (z),\wp '(z))$ 给出了从复环面 $\mathbb {C} /\Lambda$ 映至三次复射影曲线 $y^{2}=4x^{3}-g_{2}x-g_{3}$ 的全纯映射；可证明这是同构。

另一方面，将上式同除以 $\wp '$ ，积分后可得

z_{1}-z_{2}=\int _{\wp (z_{1})}^{\wp (z_{2})}{\frac {ds}{\sqrt {4s^{3}-g_{2}s-g_{3}}}}

。

右侧是复平面上的路径积分，对不同的路径 $\wp (z_{1})\to \wp (z_{2})$ ，其积分值仅差一个 $\Lambda$ 的元素；所以左式应在复环面 $\mathbb {C} /\Lambda$ 中考虑。在此意义下，魏尔斯特拉斯椭圆函数是某类椭圆积分之逆。

模判别式

续用上节符号，模判别式 $\Delta$ 定义为下述函数

\Delta =g_{2}^{3}-27g_{3}^{2}.

视为周期格的函数，这是权 12 之模形式。模判别式也可以用戴德金η函数表示。

文献

Stein. Complex Analysis.
Naum Illyich Akhiezer, Elements of the Theory of Elliptic Functions, (1970) Moscow, translated into English as AMS Translations of Mathematical Monographs Volume 79 (1990) AMS, Rhode Island ISBN 0-8218-4532-2
Tom M. Apostol, Modular Functions and Dirichlet Series in Number Theory, Second Edition (1990), Springer, New York ISBN 0-387-97127-0 (See chapter 1.)
K. Chandrasekharan, Elliptic functions (1980), Springer-Verlag ISBN 0-387-15295-4
Serge Lang, Elliptic Functions (1973), Addison-Wesley, ISBN 0-201-04162-6
E. T. Whittaker and G. N. Watson, A course of modern analysis (1952), Cambridge University Press, chapters 20 and 21

外部链接