闭形式和恰当形式

在数学，特别是向量分析与微分拓扑中，一个闭形式 $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的核，即 $d\alpha =0$的微分形式；而恰当形式(恰当微分形式) $\alpha$ 是微分算子 $d$ 的像，即存在某个微分形式 $\beta$ 使得 $\alpha =d\beta$，$\beta$ 称为关于 $\alpha$ 的一个“本原”。

因为 $d^{2}=0$，所以恰当形式一定是闭形式，但闭形式是否为恰当形式并不显然。考虑一个闭形式是不是恰当的，可由不同的条件检测拓扑信息来得知。问一个 0-形式是否恰当没有意义，因为 $d$ 将阶数提高 1，不过可以规定恰当 0-形式就是零函数。

当两个闭形式的差是一个恰当形式时，称它们为相互上同调的。这便是说，如果 $\zeta$ 与 $\eta$ 是闭形式，且存在某个 $\beta$ 使得

$\zeta -\eta =d\beta \ ,$

则我们说 $\zeta$ 与 $\eta$ 是互相上同调的。恰当形式经常称为上同调于零。相互上同调的形式的集合组成了一个德拉姆上同调类中的一个元素；对这样的类作一般性研究称为上同调理论。

$\mathbb {R} ^{2}$ 与 $\mathbb {R} ^{2}$ 上的微分形式已经为十九世纪的数学物理所熟知。在平面上，0-形式就是函数，2-形式是函数乘以基本面积元 $dx\wedge dy$，故只有 1-形式

$\alpha =f(x,y)dx+g(x,y)dy\ ,$

具有真正的意义，其外导数 $d$ 是

$d\alpha =(g_{x}-f_{y})dx\wedge dy\ ,$

这里下标表示偏导数。从而 $\alpha$“闭”的条件是

$f_{y}=g_{x}\ .$

当 $h(x,y)$ 是一个函数时则

$dh=h_{x}dx+h_{y}dy\ .$

“恰当形式是闭形式”便是关于 x 与 y 二阶导数的对称性的一个推论，这可以直接推广到高维情形。

在$\mathbb {R} ^{2}$上，恰当 1-形式相当于有势场（保守场），闭 1-形式相当于无旋场。故“恰当形式是闭形式”用向量分析的语言来说相当于有势场一定是无旋场。

庞加莱引理

庞加莱引理断言：如果 $X$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中可缩开子集，对任何整数 $p>0$，任何定义在 $X$ 上的光滑闭 $p$-形式 $\alpha$ 是恰当的（这只在 $p\leq n$ 有内容）。

可缩意味着存在同伦映射 $F_{t}:X\times [0,1]\rightarrow X$ 将 $X$ 形变为一点。从而任何 $X$ 中的闭链 $c$ 都是某个“锥”的边缘；我们可以取锥为 $X$ 在同伦下的像。这个性质的对偶版本给出了庞加莱引理。

更确切地，我们将 $X$ 与柱 $X\times [0,1]$ 联系起来，分别通过映射 $j_{1}(x)=(x,1)$与$j_{0}(x)=(x,0)$与顶端和底面等价。在微分形式上，诱导拉回映射 $j_{1}^{*}$与 $j_{0}^{*}$ 由上链同伦联系：

$Kd+dK=j_{1}^{*}-j_{0}^{*}\ .$

令 $\Omega ^{p}(x)$表示 $X$ 上的 $p$-形式，映射$K:\Omega ^{p+1}\left(X\times [0,1]\right)\rightarrow \Omega ^{p}(X)$是柱映射的对偶，定义为：

$a(x,t)dx^{p+1}\mapsto 0,\;a(x,t)dtdx^{p}\mapsto (\int _{0}^{1}a(x,t)dt)dx^{p},$

这里 $dx^{p}$ 是一个不含 $dt$ 的单项 $p$-形式。所以如果$F$是$X$到一点$Q$的同伦形变，那么

$F\circ j_{1}=id,\;F\circ j_{0}=Q\ .$

在形式上：

$j_{1}^{*}\circ F^{*}=id,\;j_{0}^{*}\circ F^{*}=0\ .$

将这两个等式代入上链同伦等式便证明了庞加莱引理。

这个引理的一个推论是德拉姆上同调是同伦不变量。庞加莱引理的本质是局部的，大范围的结果就是德拉姆定理。

不可缩空间不一定有平凡的德拉姆上同调。例如，在$t\in [0,1]$参数化圆周$S^{1}$上，闭 1-形式$dt$不是恰当的（注意：$t$不能定义为整个 $S^{1}$上的函数，但$dt$是一个良定的闭形式）。这是因为恰当形式在圆周上积分为 0，但$dt$在圆周上积分是$2\pi$。

参考文献

• Bott, Raoul; Tu, Loring W., Diifferential Forms in Algebraic Topology, Springer-Verlag(Reprinted by Beijing World Publishing Corp.), 1999, ISBN 7-5062-0112-7 
• 陈维桓, 微分流形初步 2, 高等教育出版社, 2001年, ISBN 7-04-009921-7