均匀球体内部和周围的引力势二维切片图。截面的拐点 位于该球体的表面。
在经典力学 中,一个位置上的引力势 (英语:Gravitational potential )等于将每单位质量的物体从零势面移动到该位置所需的功 (即此过程中转移给该单位质量的物体的能量 )。引力势类似于电磁学中电势 的概念,而质量 可比拟为电荷 在电磁学中扮演的角色。习惯上,引力势的零势面会取在无限远处。在这种约定下,任何有限距离处的引力势都小于零。
在数学上,引力势也称为牛顿势 (英语:Newtonian potential ),是势能理论的基础。势能理论也可以用于解释由均匀带电或极化的椭圆体产生的静电场 和静磁场 。[ 1]
势能
一个位置的引力势(
V
{\displaystyle V}
)等于每单位质量在该点拥有的势能 (
U
{\displaystyle U}
):
V
=
U
m
,
{\displaystyle V={\frac {U}{m}},}
式中
m
{\displaystyle m}
表示物体的质量。一个位置的引力势能等于在将物体从无限远处移动到该点的路径上,引力场所做的正功。若物体的质量等于1千克,那么该物体的势能的大小便会与引力势相等。
在某些情况下,可以假设引力场的强度与所在位置无关。此时上式可以被进一步化简。比方说,在接近地表附近的重力加速度
g
{\displaystyle g}
可以视为定值,因此不同位置间的势能差
Δ
U
{\displaystyle \Delta U}
能够与高度差
Δ
h
{\displaystyle \Delta h}
近似为简单的线性关系:
Δ
U
≈
m
g
Δ
h
.
{\displaystyle \Delta U\approx mg\Delta h.}
数学形式
若令一质点的质量为
M
{\displaystyle M}
,则在与质点距离
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
处的引力势
V
{\displaystyle V}
可被定义为:
[ 2] [ 3] [ 4] [ 5]
V
(
r
)
=
−
G
M
r
{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-{\frac {GM}{r}}}
推导
牛顿万有引力定律 指出:
F
=
−
G
M
m
r
2
r
^
{\displaystyle \mathbf {F} =-{\frac {GMm}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
其中
F
{\displaystyle \mathbf {F} }
:质量
m
{\displaystyle m}
的质点受到的万有引力
G
{\displaystyle G}
:万有引力常数
m
{\displaystyle m}
:质点1的质量
M
{\displaystyle M}
:质点2的质量
r
{\displaystyle r}
:两个物体之间的距离
r
^
{\displaystyle \mathbf {\hat {r}} }
:由
M
{\displaystyle M}
指向
m
{\displaystyle m}
的单位向量
式中的负号使得
m
{\displaystyle m}
往
M
{\displaystyle M}
方向吸引,因此万有引力是吸引力。
而引力场
g
{\displaystyle g}
则描述了空间中任意位置上,每单位质量的质点所受到的万有引力:
g
=
F
m
=
−
G
M
r
2
r
^
{\displaystyle \mathbf {g} ={\frac {\mathbf {F} }{m}}=-G{\frac {M}{r^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
当我们去考虑在引力场中每单位质量的物体由外力移动一段距离
d
l
{\displaystyle \mathbf {dl} }
所需做的功
d
W
{\displaystyle \mathbf {d} W}
,由于功等于力与位移的内积,所以
d
d
W
=
−
g
⋅
d
l
{\displaystyle d\mathbf {d} W=-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }
,式中的负号表示外力所做的功与引力场所做的功相反。如果将物体从点
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
移动到点
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
,则
W
{\displaystyle W}
等于沿着该路径的线积分
W
=
∫
a
b
−
g
⋅
d
l
{\displaystyle W=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }
在球坐标系中
d
l
=
d
r
r
^
+
r
d
θ
θ
^
+
r
sin
θ
d
ϕ
ϕ
^
{\displaystyle \mathbf {dl} =\mathbf {d} r\mathbf {\hat {r}} +r\mathbf {d} \theta {\boldsymbol {\hat {\theta }}}+r\sin {\theta }\mathbf {d} \phi {\boldsymbol {\hat {\phi }}}}
,所以
g
⋅
d
l
=
−
G
M
r
2
d
r
{\displaystyle \mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} =-{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {d} r}
因此
W
=
∫
a
b
−
g
⋅
d
l
=
∫
a
b
G
M
r
2
d
r
=
G
M
(
1
r
a
−
1
r
b
)
{\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }{\frac {GM}{r^{2}}}\mathbf {d} r\\&=GM({\frac {1}{r_{a}}}-{\frac {1}{r_{b}}})\end{aligned}}}
其中,
r
a
{\displaystyle r_{a}}
是从原点到点
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
的距离,
r
b
{\displaystyle r_{b}}
是从原点到点
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
的距离。对于任何两条具有相同起点和终点的路径,上式的积分一定具有相同的值。既然线积分与路径无关,我们可以就定义一个函数
V
(
r
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} )}
:
V
(
r
)
=
−
∫
O
r
g
⋅
d
l
{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathcal {O}}^{\mathbf {r} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }
V
(
r
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} )}
就称为引力势。只要预先设定一个标准参考点
O
{\displaystyle {\mathcal {O}}}
,
V
{\displaystyle V}
的值就可以由
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
来决定。
习惯上,我们将无限远处的引力势设为零。因此,在点
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
的引力势
V
{\displaystyle V}
等于
V
(
r
)
=
G
M
(
1
∞
−
1
r
)
=
−
G
M
r
{\displaystyle V(\mathbf {r} )=GM({\frac {1}{\infty }}-{\frac {1}{r}})=-{\frac {GM}{r}}}
此外,
W
{\displaystyle W}
可以用
V
{\displaystyle V}
重新写成:
W
=
∫
a
b
−
g
⋅
d
l
=
−
∫
O
b
g
⋅
d
l
−
∫
a
O
g
⋅
d
l
=
−
∫
O
b
g
⋅
d
l
+
∫
O
a
g
⋅
d
l
=
V
(
b
)
−
V
(
a
)
{\displaystyle {\begin{aligned}W&=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }-\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=-\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} -\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {\mathcal {O}} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=-\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} +\int _{\mathbf {\mathcal {O}} }^{\mathbf {a} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} \\&=V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )\end{aligned}}}
因此,在引力场中移动每单位质量的物体所需的功,等于两点之间引力势的差。如果想将物体移动到了离质点
M
{\displaystyle M}
更远的地方,则一定要做正功。上式也可以看做是将单位质量的物体从无限远处移到该点所需的功。
引力势的梯度
由上述的计算得知,
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
、
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
两点之间引力势的差等于
V
(
b
)
−
V
(
a
)
=
−
∫
a
b
g
⋅
d
l
{\displaystyle V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )=-\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }
然而根据梯度定理(线积分基本定理),引力势的梯度
∇
V
{\displaystyle \mathbf {\nabla } V}
沿曲线的积分,可用引力势在该曲线两端的值之差来计算:
V
(
b
)
−
V
(
a
)
=
∫
a
b
(
∇
V
)
⋅
d
l
{\displaystyle V(\mathbf {b} )-V(\mathbf {a} )=\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }(\mathbf {\nabla } V)\cdot \mathbf {dl} }
所以
∫
a
b
(
∇
V
)
⋅
d
l
=
−
∫
a
b
g
⋅
d
l
{\displaystyle \int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }(\mathbf {\nabla } V)\cdot \mathbf {dl} =-\int _{\mathbf {a} }^{\mathbf {b} }\mathbf {g} \cdot \mathbf {dl} }
由于对于任何点
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
、
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
都是如此,因此被积数必须相等:
g
=
−
∇
V
{\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {\nabla } V}
这是引力势的一个重要性质。
单位
在公制单位 中,力的单位是牛顿 ,质量的单位是千克 ,所以引力场的单位是牛顿/千克而引力势的单位是牛顿米/千克,或焦耳/千克。
叠加
经典力学中,一个质量分布产生的引力势,等于各个点质量的引力势的叠加。如果一个质量分布由有限个点质量组成,点质量的位置为
r
1
,
.
.
.
,
r
n
{\displaystyle \mathbf {r} _{1},...,\mathbf {r} _{n}}
,质量为
m
1
,
.
.
.
,
m
n
{\displaystyle m_{1},...,m_{n}}
,那么其在点
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
产生的引力势
V
(
r
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} )}
等于
V
(
r
)
=
∑
i
=
1
n
−
G
m
i
|
r
−
r
i
|
.
{\displaystyle V(\mathbf {r} )=\sum _{i=1}^{n}-{\frac {Gm_{i}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r_{i}} |}}.}
如果在三维欧氏空间
R
3
{\displaystyle \mathbf {R} ^{3}}
上将质量分布以测度
d
m
{\displaystyle \mathbf {d} m}
给出,则引力势等于
−
G
/
r
{\displaystyle -G/r}
对
d
m
{\displaystyle \mathbf {d} m}
的卷积 。[ 6] 在理想的情况下,这等价于积分
V
(
r
)
=
−
∫
R
3
G
|
r
−
r
′
|
d
m
(
r
′
)
,
{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\mathbf {d} m(\mathbf {r} \prime ),}
式中
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}
代表点
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
与点
r
′
{\displaystyle \mathbf {r} \prime }
的距离。如果该质量分布在点
r
{\displaystyle \mathbf {r} }
的密度为
ρ
(
r
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}
,那么
d
m
{\displaystyle \mathbf {d} m}
便等于密度
ρ
(
r
)
{\displaystyle \rho (\mathbf {r} )}
与单位体积
d
τ
{\displaystyle \mathbf {d} \tau }
的乘积:
d
m
=
ρ
(
r
)
d
τ
{\displaystyle \mathbf {d} m=\rho (\mathbf {r} )\mathbf {d} \tau }
,而引力势就等于体积分
V
(
r
)
=
−
∫
R
3
G
|
r
−
r
′
|
ρ
(
r
′
)
d
τ
(
r
′
)
.
{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\rho (\mathbf {r} \prime )\mathbf {d} \tau (\mathbf {r} \prime ).}
泊松方程
如果有一个引力场
g
{\displaystyle \mathbf {g} }
由质量分布
ρ
{\displaystyle \rho }
产生,使用高斯定律 (英语:Gauss's law for gravity )的微分形式可以获得
∇
⋅
g
=
−
4
π
G
ρ
.
{\displaystyle \mathbf {\nabla } \cdot \mathbf {g} =-4\pi G\rho .}
由于
g
=
−
∇
V
.
{\displaystyle \mathbf {g} =-\mathbf {\nabla } V.}
,带入高斯定律后可得到引力的泊松方程
∇
2
V
=
4
π
G
ρ
.
{\displaystyle {\nabla }^{2}V=4\pi G\rho .}
若密度处处为零,则上式便退化为拉普拉斯方程 。泊松方程可以使用格林函数 求解。
球形对称
根据壳层定理 ,若存在一个球形对称的质量分布,对对于处在分布外面的观察者而言,其行为就好像所有质量都集中在球心的个点质量,因此可以等效地作为点质量来处理。在地球表面,重力加速度g 大约为9.8 m/s2 ,尽管该值随纬度和海拔高度略有变化(因为地球是扁球形,极点处的加速度大小略大于赤道处的加速度大小。)
在一个密度均匀的球体内,可以求出其引力势
V
(
r
)
{\displaystyle V(r)}
等于
[ 7]
V
(
r
)
=
2
3
π
G
ρ
(
r
2
−
3
R
2
)
,
r
≤
R
.
{\displaystyle V(r)={\frac {2}{3}}\pi G\rho (r^{2}-3R^{2}),\qquad r\leq R.}
广义相对论
在广义相对论 中,引力势被度量张量 取代。当引力场的来源较弱并且移动速度比光速 慢很多时,广义相对论就会简化为牛顿万有引力理论,且在一阶度规张量可表示为引力势的函数。[ 8]
多极展开
在计算空间中的引力势
V
(
r
)
=
−
∫
R
3
G
|
r
−
r
′
|
ρ
(
r
′
)
d
τ
(
r
′
)
{\displaystyle V(\mathbf {r} )=-\int _{\mathbf {R} ^{3}}{\frac {G}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}}\,\rho (\mathbf {r} \prime )\mathbf {d} \tau (\mathbf {r} \prime )}
时,牵涉到计算
|
r
−
r
′
|
{\displaystyle |\mathbf {r} -\mathbf {r} \prime |}
的倒数的积分,这个积分的难易度虽著质量分布
ρ
{\displaystyle \rho }
而异。为了将计算化简,这时候可以使用多极展开 ,将式子化为
1
/
r
{\displaystyle 1/r}
的幂级数 ,让积分变得容易得多。做理论运算时,在允许误差范围内,时常可以只取多极展开几个最低阶的非零项,忽略其它剩下的、数值超小的项。
数值
下表[来源请求] 给出了关于来自地球,太阳和银河系的引力在不同位置上的引力势大小;换句话说,位于地球表面的物体需要60 MJ/kg的动能才能“脱离”地球的引力场,另外要有900 MJ/kg才能脱离太阳的引力场,而超过130 GJ/kg才能脱离银河系的引力场。引力势是逃离速度的平方的一半。
地点
地球 引力的引力势
太阳 引力的引力势
银河系 引力的引力势
地球表面
60 MJ/kg
900 MJ/kg
≥ 130 GJ/kg
近地轨道
57 MJ/kg
900 MJ/kg
≥ 130 GJ/kg
旅行者1号 (距离地球170亿公里)
23 J/kg
8 MJ/kg
≥ 130 GJ/kg
距离地球 0.1 光年 处
0.4 J/kg
140 kJ/kg
≥ 130 GJ/kg
参见
注脚
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参考资料
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