超限归纳法

超限归纳法（英语：Transfinite Induction）是数学归纳法向（大）良序集合比如基数或序数的集合的扩展。

超限归纳

假设只要对于所有的$\beta <\alpha$，$P(\beta )$为真，则$P(\alpha )$也为真。那么超限归纳告诉我们$P$对于所有序数为真。

就是说，如果$P(\alpha )$为真只要$P(\beta )$对于所有$\beta <\alpha$为真，则$P(\alpha )$对于所有$\alpha$为真。或者更实用的说：若要证明所有序数$\alpha$都符合性质$P$，你可以假定它对于所有更小的$\beta <\alpha$已经是成立的。

通常证明被分为三种情况：

• 零情况： 证明$P(0)$为真。

• 后继情况： 证明对于任何后继序数$\beta +1$， $P(\beta +1)$得出自$P(\beta )$（如果需要的话，也假定对于所有 $\alpha <\beta$ 有$P(\alpha )$）。

• 极限情况： 证明对于任何极限序数$\lambda$，$P(\lambda )$得出自 [$P(\alpha )$对于所有$\alpha <\lambda$]。

留意，以上三种情况(证明方法)都是相同的，只是所考虑的序数类型不同。正式来说不用分开考虑它们，但在实践时，因为它们的证明过程通常相差很大，所以需要分别表述。在一些情况下，“零情况”会被视为一种“极限情况”，因此可以使用极限序数来证明。

超限递归

超限递归是一种构造或定义某种对象的方法，它与超限归纳的概念密切相关。例如，可以定义以序数为下标的集合序列 A_α ，只要指定三个事项：

• $A_{0}$是什么
• 如何确定$A_{\alpha +1}$自$A_{\alpha }$（又或者是从$A_{0}$到$A_{\alpha }$的部分）
• 对于极限序数$\lambda$，如何确定$A_{\lambda }$自$A_{\alpha }$的对于$\alpha <\lambda$的序列。

更形式的说，我们陈述超限递归定理如下。给定函数类$\mathrm {G_{1}}$, $\mathrm {G_{2}}$, $\mathrm {G_{3}}$，存在一个唯一的超限序列$\mathrm {F}$带有$\mathrm {dom} (\mathrm {F} )=Ord$（$Ord$ 是所有序数的真类），使得

• $\mathrm {F} (0)=\mathrm {G_{1}} (\varnothing )$
• $\mathrm {F} (\alpha +1)=\mathrm {G_{2}} (\mathrm {F} (\alpha ))$，对于所有 $\alpha \in Ord$
• $\mathrm {F} (\alpha )=\mathrm {G_{3}} (\mathrm {F} \upharpoonright \alpha )$，对于所有极限序数 $\alpha \neq 0$。这里的$\mathrm {F} \upharpoonright \alpha$是指$\mathrm {F}$在 $\{\beta \in Ord:\beta <\alpha \}$上的限制。

注意我们要求$\mathrm {G_{1}}$, $\mathrm {G_{2}}$, $\mathrm {G_{3}}$的定义域足够广阔来使上述性质有意义。所以满足这些性质的序列的唯一性可以使用超限归纳证明。

更一般的说，你可以在任何良基关系$R$上通过超限递归定义对象。（$R$甚至不需要是集合；它可以是真类，只要它是类似集合的关系便可，也就是说：对于任何 $x$，使得$yRx$的所有$y$的搜集必定是集合。）

同选择公理的联系

有一个常见的误解是超限归纳法或超限递归法要求选择公理。其实超限归纳可以应用于任何良序集合。但是常见的情况是使用选择公理来良序排序一个集合，使其适用超限归纳法。

参见

• 数学归纳法
• 结构归纳法
• ε归纳法
• 首个不可数序数