贝西科维奇覆盖定理

数学上，贝西科维奇(Besicovitch)覆盖定理是实分析的一条覆盖定理。欧氏空间的任何一个有半径上限的闭球族中，可以取出几个子集，子集的球互不相交，且覆盖原来闭球族中所有球的中心，而子集的数目上限只取决于空间的维数。

定理叙述

若 ${\mathcal {F}}$ 是 $\mathbb {R} ^{n}$ 中的非退化（半径为正数）闭球族，当中的球的半径有有限上界，即

\sup\{\mathrm {rad} (B):B\in {\mathcal {F}}\}<\infty

而A为当中的球的中心组成的集合。那么 ${\mathcal {F}}$ 中存在子集 ${\mathcal {G}}_{1},\cdots ,{\mathcal {G}}_{N_{n}}$ ，每个 ${\mathcal {G}}_{i}$ 是可数多个互不相交的球的集合，而且

A=\bigcup _{i=1}^{N_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B

其中 $N_{n}$ 是一个仅依赖于n的常数。

证明大概

先假设A是有界集合。依次选取球 $B_{i}$

选择 $B(a_{1},r_{1})\in {\mathcal {F}}$ 为 $B_{1}$ ，适合条件 $r_{1}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}\}$
若已选取 $B_{1},\cdots ,B_{j-1}$ ， $j\geq 2$ 。令 $A_{j}:=A\setminus \cup _{i=1}^{j-1}B_{i}$ 。若 $A_{j}=\varnothing$ ，就停止；若否，选择 $B(a_{j},r_{j})$ 为 $B_{j}$ ，适合条件 $r_{j}\geq {\frac {3}{4}}\sup\{B(a,r)\in {\mathcal {F}},a\in A_{j}\}$

球 $B_{i}$ 有以下性质

以 $B_{i}$ 的选取方法可知，若j > i，则 $r_{j}\leq {\frac {4}{3}}r_{i}$ ， $\left|a_{i}-a_{j}\right|>r_{i}$ 。
将全部球 $B_{i}$ 的半径缩至三分之一，从以上不等式，可证这些缩小的球 $B(a_{i},r_{i}/3)$ 互不相交。
若有可数无限多球 $B_{i}$ ，因A有界，及缩小的球不交的性质，所以球 $B_{i}$ 的半径趋向0。
$A\subset \cup _{i}B_{i}$ 。若 $B_{i}$ 数目有限，则结果明显；若数目是无限多，假如有 $a\in A\setminus \cup _{i}B_{i}$ ，那么 ${\mathcal {F}}$ 中有球 $B(a,r)$ ，而从上一性质知，对足够大的j，有 $r_{j}<(3/4)r$ ，与 $B_{j}$ 的选取条件矛盾。

对k > 1，估算 $B_{k}$ 和多少个之前选择的球 $B_{i}$ 相交。先将这样的 $B_{i}$ 按半径 $r_{i}$ 分成两组： $r_{i}\leq 3r_{k}$ 为第一组， $r_{i}>3r_{k}$ 为第二组。

对第一组的球 $B_{i}=B(a_{i},r_{i})$ ，将其缩小成 $B(a_{i},r_{i}/3)$ 后包含在 $B(a_{k},5r_{k})$ 中。 $B(a_{i},r_{i}/3)$ 之间互不相交，故总体积不超过 $B(a_{k},5r_{k})$ 的体积。又因 $r_{i}\geq (3/4)r_{k}$ ，因此 $B(a_{i},r_{i}/3)$ 相对 $B(a_{k},5r_{k})$ 的比例有一个下限，而这下限仅由维数n决定。所以第一组的球的数目有一个仅依赖于n的上限。

对第二组的球，任取其中两个球 $B_{i}$ , $B_{j}$ 。考虑以 $a_{i}$ , $a_{j}$ , $a_{k}$ 作顶点的三角形。因 $B_{i}$ , $B_{j}$ 都和 $B_{k}$ 相交，又 $a_{k}$ 不在 $B_{i}$ , $B_{j}$ 之内，故有不等式

r_{i}<\left|a_{i}-a_{k}\right|<r_{i}+r_{k}

r_{j}<\left|a_{j}-a_{k}\right|<r_{j}+r_{k}

欲证出此三角形以 $a_{k}$ 为顶点的角 $\theta$ ，不小于一常数。可以假设 $a_{i}a_{k}$ 边长不大于 $a_{j}a_{k}$ 边长。如果 $a_{i}$ 不在 $B_{j}$ 内，则 $a_{i}a_{j}$ 边长大于 $r_{j}$ 。若 $a_{i}a_{j}$ 边长不小于 $a_{j}a_{k}$ 边长，则 $a_{i}a_{j}$ 为三角形中最长的边，所以 $\theta$ 不小于 $\pi /3$ 。若 $a_{i}a_{j}$ 边长小于 $a_{j}a_{k}$ 边长，以平面几何可证得这情形时 $\theta$ 不小于arccos(5/6)。如果 $a_{i}$ 在 $B_{j}$ 内，必有i < j，故 $r_{j}\leq (4/3)r_{i}$ ，且 $a_{j}$ 不在 $B_{i}$ 内，因此 $a_{i}a_{j}$ 边长大于 $r_{i}$ 。可证得这情形时 $\theta$ 不小于arccos(61/64)。取上述下限的最小者，得出 $\theta$ 的下限为arccos(61/64)。

因此将第二组各个的球的中心和 $a_{k}$ 之间连成直线，则任意两条直线之间在 $a_{k}$ 的夹角不小于arccos(61/64)。 $a_{k}$ 为中心的单位球面上，这些直线中任何两条和球面的交点，其间的球面距离，等于直线间的夹角。直线间的夹角下限，就是交点间的球面距离下限。在单位球面上所能容纳的这样的点的数目，有一个只依赖维数n的上限，这也就是第二组球的数目上限。

$B_{k}$ 和之前的球相交的数目上限，是以上两组的上限的和，于是这个上限只依赖于维数n。这个上限加1设为 $M_{n}$ 。现在从 $B_{1}$ 开始依次把球放到子集 ${\mathcal {G}}_{i}$ 内。轮到 $B_{k}$ 时，因为之前的球中最多有 $M_{n}-1$ 个和 $B_{k}$ 相交，因此在 $M_{n}$ 个子集 ${\mathcal {G}}_{i}$ 中，必定有至少一个所包含的球都不和 $B_{k}$ 相交，于是可以把 $B_{k}$ 加进这个子集。这样就得出了子集 ${\mathcal {G}}_{i}$ ，满足条件

A\subset \bigcup _{i}B_{i}=\bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}}B

对一般的A，设

R:=\sup\{\mathrm {rad} (B),B\in {\mathcal {F}}\}

对每个正整数l，设

A_{l}:=\{x\in A:3R(l-1)\leq |x|<3R\,l\}

{\mathcal {F}}^{l}:=\{B(a,r)\in {\mathcal {F}}:a\in A_{l}\}

将以上结果用到 $A_{l}$ 和 ${\mathcal {F}}^{l}$ 上，得到子集 ${\mathcal {G}}_{1}^{l},\cdots ,{\mathcal {G}}_{M_{n}}^{l}$ ，满足条件

A_{l}\subset \bigcup _{i=1}^{M_{n}}\bigcup _{B\in {\mathcal {G}}_{i}^{l}}B

对 $1\leq j\leq M_{n}$ ，设 ${\mathcal {G}}_{i}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l-1}$ ， ${\mathcal {G}}_{i+M_{n}}:=\cup _{l=1}^{\infty }{\mathcal {G}}_{i}^{2l}$ ，并设 $N_{n}=2M_{n}$ 。那么 ${\mathcal {G}}_{i}$ 的球互不相交，且有