角直径距离

角直径距离一般是天文学中使用的距离。天体的角直径距离被定义为天体的真实大小 $x$ 和它从地球观察所见的角直径 $\theta$ 之比。
$d_{A}={\frac {x}{\theta }}$
角直径距离的确定依赖于宇宙模型的选取。一个红移为 $z$ 的天体的角直径距离用共动距离 $\chi$ 表示为：
$d_{A}={\frac {r(\chi )}{1+z}}$
此处 $r(\chi )$ 为弗里德曼-罗伯逊-沃尔克坐标，其定义如下：
$r(\chi )={\begin{cases}\sin \left({\sqrt {-\Omega _{k}}}H_{0}\chi \right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}<0\\\chi &\Omega _{k}=0\\\sinh \left({\sqrt {\Omega _{k}}}H_{0}\chi \right)/\left(H_{0}{\sqrt {|\Omega _{k}|}}\right)&\Omega _{k}>0\end{cases}}$
此处 $\Omega _{k}$ 是曲率密度，和 $H_{0}$ 是哈勃参数目前的值。

在目前被普遍推崇的ΛCDM模型中，一个天体的“角直径距离”是对“真实距离”（即光线发出时刻的共动距离）很好的近似。请注意当红移较大时，增加红移会得到更小的角直径距离。换言之，在一个天体“后面”的另一个相同大小的天体，如果红移较大（约大于Z=1.5），会在天球上显示更大的张角，而且会有“较小”的“角直径距离”。

角大小与红移的关系

角大小与红移的关系描述天体在地球上观测到的角大小与其红移（与距离 $d$ 有关）的关系。根据欧几里得几何，这个关系可表达为：

$\tan \left(\theta \right)={\frac {x}{d}}$

其中 $\theta$ 是天体的角大小， $x$ 是其真实大小， $d$ 是天体到地球的距离。当 $\theta$ 很小时，上式可以近似为：

$\theta \approx {\frac {x}{d}}$ .

但是，在ΛCDM模型中，这个关系是复杂的。如上所述，此模型中，当天体的红移增加至大于约1.5之后，随着红移的增加天体的角大小增大。

具体的角直径距离 $d_{a}$ 和红移的关系如下：

$d_{a}={\cfrac {c}{H_{0}q_{0}^{2}}}{\cfrac {(zq_{0}+(q_{0}-1)({\sqrt {2q_{0}z+1}}-1))}{(1+z)^{2}}}$

其中 $q_{0}$ 为减速因子（英语：Deceleration parameter），它描述宇宙减速膨胀的加速度；在最简化的模型中， $q_{0}<0.5$ 代表宇宙将永远膨胀， $q_{0}>0.5$ 代表闭合宇宙（最终将停止膨胀并收缩）， $q_{0}=0.5$ 代表临界的状态－宇宙将正好可以膨胀至无穷远而不会收缩。