艾里函数

艾里函数（Ai(x)），英国英格兰天文学家、数学家乔治·比德尔·艾里命名的特殊函数，他在1838年研究光学的时候遇到了这个函数。Ai(x)的记法是Harold Jeffreys引进的。Ai(x)与相关函数Bi(x)（也称为艾里函数），是以下微分方程的解：

$y''-xy=0,\,\!$

这个方程称为艾里方程或斯托克斯方程。这是最简单的二阶线性微分方程，它有一个转折点，在这一点函数由周期性的振动转变为指数增长（或衰减）。

定义

Ai(x)（红色）和Bi(x)（蓝色）的图像

对于实数x，艾里函数由以下的积分定义：

$\mathrm {Ai} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\cos \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.$

虽然这个函数不是绝对可积的（当t趋于+∞时积分表达式不趋于零），这个广义积分还是收敛的，因为它快速振动的正数和负数部分倾向于互相抵消（这可以用分部积分法来检验）。

把:$y=Ai(x)$求导，我们可以发现它满足以下的微分方程：

$y''-xy=0.\,\!$

这个方程有两个线性独立的解。除了:$Ai(x)$以外，另外一个解称为第二艾里函数，记为$Bi(x)$。它定义为当x趋于−∞时，振幅与$Ai(x)$相等，但相位与$Ai(x)$相差${\frac {\pi }{2}}$ 的函数：

$\mathrm {Bi} (x)={\frac {1}{\pi }}\int _{0}^{\infty }\ e^{\left(-{\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)}+\sin \left({\frac {t^{3}}{3}}+xt\right)\,dt.$

性质

$x=0$时，$\mathrm {Ai} (x)$和 $\mathrm {Bi} (x)$以及它们的导数的值为：

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{3}]{9}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Ai} '(0)&{}=-{\frac {1}{{\sqrt[{3}]{3}}\Gamma ({\frac {1}{3}})}},\\\mathrm {Bi} (0)&{}={\frac {1}{{\sqrt[{6}]{3}}\Gamma ({\frac {2}{3}})}},&\quad \mathrm {Bi} '(0)&{}={\frac {\sqrt[{6}]{3}}{\Gamma ({\frac {1}{3}})}}.\end{aligned}}$

在这里，${\Gamma }$表示伽玛函数。可以推出Ai(x)和Bi(x)的朗斯基行列式是${\frac {1}{\pi }}$ 。

当x是正数时，Ai(x)是正的凸函数，指数衰减为零，Bi(x)也是正的凸函数，但呈指数增长。当x是负数时，Ai(x)和Bi(x)在零附近振动，其频率逐渐上升，振幅逐渐下降。这可以由以下艾里函数的渐近公式推出。

渐近公式

当x趋于+∞时，艾里函数的渐近表现为：

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}\sim {\frac {e^{-{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{2{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (x)&{}\sim {\frac {e^{{\frac {2}{3}}x^{3/2}}}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}$

而对于负数方向的极限，则有：

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}\sim {\frac {\sin({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}\\\mathrm {Bi} (-x)&{}\sim {\frac {\cos({\frac {2}{3}}x^{3/2}+{\frac {1}{4}}\pi )}{{\sqrt {\pi }}\,x^{1/4}}}.\end{aligned}}$

这些极限的渐近展开式也是可以得到的。

自变量是复数时的情形

我们可以把艾里函数的定义扩展到整个复平面：

$\mathrm {Ai} (z)={\frac {1}{2\pi i}}\int _{C}\exp \left({\frac {t^{3}}{3}}-zt\right)\,dt,$

其中积分路径$C$从辐角为-(1/3)π的无穷远处的点开始，在辐角为(1/3)π的无穷远处的点结束。此外，我们也可以用微分方程$y''-xy=0$来把Ai(x)和Bi(x)延拓为复平面上的整函数。

以上Ai(x)的渐近公式在复平面上也是正确的，如果取主值为x^2/3，且x不在负的实数轴上。Bi(x)的公式也是正确的，只要x位于扇形{x∈C : |arg x| < (1/3)π−δ}内，对于某个正数δ。最后，Ai(−x)和Bi(−x)是正确的，如果x位于扇形{x∈C : |arg x| < (2/3)π−δ}内。

从艾里函数的渐近表现可以推出，Ai(x)和Bi(x)在负的实数轴上都有无穷多个零点。Ai(x)在复平面内没有其它零点，而Bi(x)在扇形{z∈C : (1/3)π < |arg z| < (1/2)π}内还有无穷多个零点。

图像

$\Re \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]$	$|\mathrm {Ai} (x+iy)|\,$	$\mathrm {arg} \left[\mathrm {Ai} (x+iy)\right]\,$

$\Re \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$	$\Im \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]$	$|\mathrm {Bi} (x+iy)|\,$	$\mathrm {arg} \left[\mathrm {Bi} (x+iy)\right]\,$

与其它特殊函数的关系

当自变量是正数时，艾里函数与变形贝塞尔函数之间有以下的关系：

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (x)&{}={\frac {1}{\pi }}{\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\,K_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right),\\\mathrm {Bi} (x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(I_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+I_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}$

在这里，I_±1/3和K_1/3是方程$x^{2}y''+xy'-(x^{2}+1/9)y=0$的解。

当自变量是负数时，艾里函数与贝塞尔函数之间有以下的关系：

${\begin{aligned}\mathrm {Ai} (-x)&{}={\frac {1}{3}}{\sqrt {x}}\left(J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)+J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right),\\\mathrm {Bi} (-x)&{}={\sqrt {{\frac {1}{3}}x}}\left(J_{-1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)-J_{1/3}\left({\frac {2}{3}}x^{3/2}\right)\right).\end{aligned}}$

在这里，J_±1/3是方程$x^{2}y''+xy'+(x^{2}-1/9)y=0$的解。

Scorer函数是$y''-xy=1/\pi$的解，它也可以用艾里函数来表示：

${\begin{aligned}\mathrm {Gi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{x}^{\infty }\mathrm {Ai} (t)\,dt+\mathrm {Ai} (x)\int _{0}^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt,\\\mathrm {Hi} (x)&{}=\mathrm {Bi} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Ai} (t)\,dt-\mathrm {Ai} (x)\int _{-\infty }^{x}\mathrm {Bi} (t)\,dt.\end{aligned}}$

或是利用超几何函数，

$\operatorname {Gi} (z)\equiv {\frac {1}{3}}\operatorname {Bi} (z)-{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)$

$\operatorname {Hi} (z)\equiv {\frac {2}{3}}\operatorname {Bi} (z)+{\frac {z^{2}}{2\pi }}{_{1}F_{2}}(1;4/3,5/3;z^{3}/9)$

参考文献

• Milton Abramowitz and Irene A. Stegun (1954). Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables, (See §10.4) （页面存档备份，存于互联网档案馆）. National Bureau of Standards.
• Airy (1838). On the intensity of light in the neighbourhood of a caustic. Transactions of the Cambridge Philosophical Society, 6, 379–402.
• Olver (1974). Asymptotics and Special Functions, Chapter 11. Academic Press, New York.
• Harold Richard Suiter. Star Testing Astronomical Telescopes: A Manual for Optical Evaluation and Adjustment. Richmond, VA: Willmann-Bell. 1994. ISBN 978-0-943396-44-6. （含有许多图像 （页面存档备份，存于互联网档案馆））

外部链接

• 埃里克·韦斯坦因. Airy Functions. MathWorld.