网 (数学)
在拓扑学和数学的相关领域里,网(英语:Net)是序列的广义化,用来统一极限不同的概念和将其广义至任意的拓扑空间。网的极限对一般拓扑空间扮演的角色,就好比序列的极限之于第一可数空间(例如度量空间)。
一个序列通常以为全序集合的自然数做为索引。网广义化了此一概念,以把索引集合上的次序关系削弱成有向集合。
网于公元1922年首次由E. H.摩尔与赫曼·莱尔·史密斯提出。另一相关的概念-滤子则于公元1937年由昂利·嘉当所发展。
定义
设X是一拓扑空间,X中的网是指一由某一有向集合A到X的函数。
设A是一有向集合,通常会把由A到X的网写成(xα),以用来表示A的元素α映射到X的元素xα上。通常用≥来标记由A所给定的二元关系。
例子
当自然数是一有向集合且序列是定义域为自然数的函数时,每一序列都会是一个网。
另一重要例子如下。给定拓扑空间上的一点x,让Nx标记为所有包含x的邻域的集合。然后,Nx会是个有向集合,其方向由内含的颠倒给定,即S ≥ T当S包含在T里时。对在Nx内的S,让xS标记为S内的一点。然后,xS便会是一个网。当S对≥而言为增加时,网内的点sS会被限制在x的递减邻域内,直观地说,这使得xS在某些意义上时必须趋向x。下面将把这一极限的概念讲述的更清楚。
网的极限
若(xα)是一由有向集合A到X的网,且若Y是X的子集,则我们说(xα)是最终于Y,若存在一在A内的α能使得任一在A内会有β ≥ α的β,其点xβ会在Y内。
若(xα)是拓扑空间X内的一网,且x是X的一元素,我们说这一个网收敛至x或称有极限x,并写做
- lim xα = x
- 对任一x的邻域U,(xα)会最终于U。
直观地说,这表示xα会很靠近x,若α取得够大。
注意,上述所举的在一点x的邻域系统上的网根据定义是会确实地收敛至x了。
网的极限的例子
- 黎曼和的网的极限,用来黎曼积分的定义上。在此例子中,其有向集合为积分区间分割的集合,以内含以其偏序。相似的事情也被用来黎曼-斯蒂尔吉斯积分的定义上。
追加定义
若D和E为有向集合,且h为一由D到E的函数,则h被称为共尾,若对任一在E内的e,总存在一在D内的d会使得当q为D的元素且q ≥ d时,h(q) ≥ e。换句话,其值域h(D)会共尾于E。
若D和E为有向集合,h为由E到E的共尾函数,且φ是以E为基的集合X的网,则φoh称做φ的子网。所有的子网都是这种类型,依其定义。
若φ是一以有向集合D为底的集合X的网,且A为X的子集,则φ频繁地在A,当对于任一在D内的α,存在一在D的β且β ≥ α以使φ(β)在A内。
集合X的网φ称做普遍的(或超网),若对于任一X的子集A,φ会最终于A或会最终于X-A。
性质
几乎所有拓扑概念都能以网与极限的语言表述。这可以作为直觉的南鍼,因为网的极限在概念上近于序列的极限,后者在度量空间理论中被广泛地运用。
- 拓扑空间之间的函数在一点连续当且仅当对于每个网,若
则有
若将“网”换为“序列”,则此定理一般非真。当空间非第一可数时,必须考虑比自然数集更广的有向集。
- 一般而言,空间的网可以有多个极限。当为豪斯多夫空间时,极限是唯一的;反之,若非豪斯多夫空间,则存在中的一个网,使得它有两个不同极限,因此豪斯多夫性质可以用网的极限刻划。注意到此结果有赖于有向条件,以一般的预序或偏序为指标的集合仍可能有多个极限。
- 给定子集合,则属于的闭包若且为若存在网,使得而且为其极限。因此可以用网与极限刻划闭包运算,从而刻划开集与闭集。
- 空间是紧致的,当且仅当每个网都有个有极限的子网。这是Bolzano-Weierstrass定理与海涅-博雷尔定理的推广。
- 乘积空间中的网的极限由其投影决定:若,则当且仅当
- 若是连续函数,是超网,则亦然。
另见
滤子的理论也提供了在一般拓扑空间内有关收敛的定义。
在一致空间(例如度量空间)中,可以将柯西序列的定义推广为柯西网,由此导出柯西空间的定义。网 (xα)是柯西网,如果对于所有周围V存在γ使得对于所有α, β ≥ γ,(xα, xβ)是V的成员。
参考
E. H. Moore and H. L. Smith (1922). A General Theory of Limits. American Journal of Mathematics 44 (2), 102–121.