累次极限

在n元函数中，由各变量依某种次序相继地各自趋于极限而得出的极限，称为累次极限。

定义

为简单起见，以讨论二元函数$f(x,y)$为限。假设变量$x,y$的变动区域$D$是这样：$x$可以(与$y$无关的)取集$X$内的任意数值，$X$以不属于它的点$a$作为聚点，同样$y$可以(与$x$无关的)在集$Y$内变动，$Y$以不属于它的点$b$作为聚点。这样区域$D$可以记为$X\times Y$。

若对$Y$内任一固定的$y$，函数$f(x,y)$(它将只是$x$的函数)在$x\to a$时有极限存在，则这极限。一般地说，将与预先固定的$y$值有关:

$\lim _{x\to {a}}f(x,y)=\phi (y)$

然后可以讨论函数$\phi (y)$在$y\to b$时的极限：

$\lim _{y\to {b}}\phi (y)=\lim _{y\to b}\lim _{x\to a}f(x,y)$

这就是两个累次极限之一，若趋于极限的过程由相反的次序进行，就得出另一累次极限；

$\lim _{x\to a}\lim _{y\to b}f(x,y)$