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牛顿第三定律

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艾萨克·牛顿 （1643–1727）

在经典力学里，牛顿第三定律[1]（Newton's third law of motion，中国大陆译牛顿第三定律[1]，台湾译牛顿第三运动定律）表明，当两个物体相互作用时，彼此施加于对方的力，其大小相等、方向相反。[2]力必会成双结对地出现：其中一道力称为“作用力”；而另一道力则称为“反作用力”（拉丁语 actio 与 reactio 的翻译），又称“抗力”；两道力的大小相等、方向相反。它们之间的分辨，是纯然任意的；任何一道力都可以被认为是作用力，而其对应的力自然地成为伴随的反作用力。这成对的作用力与反作用力称为“配对力”。 牛顿第三运动定律最初描述的是作用与反作用的关系，即：作用等于反作用。

1687年，英国物理泰斗艾萨克·牛顿在巨著《自然哲学的数学原理》里，提出了牛顿运动定律，其中有三条定律，分别为牛顿第一运动定律、牛顿第二运动定律与牛顿第三定律。[3]由于专门表述作用力与反作用力，牛顿第三定律又称为“作用与反作用定律”，在本文内简称为“第三定律”。

第三定律以方程表达为

；

其中， 是物体B施加于物体A的力， 是物体A施加于物体B的力。

两种版本

当两个带电粒子都以相同速度 移动时，带正电粒子 会感受到电场力 、磁场力 与合力 ，带负电粒子 会感受到电场力 、磁场力 与合力 。注意到作用力 和反作用力 不同线。在本图内，速度 的大小不按比例绘制。

作用与反作用定律又分为两种版本：强版本和弱版本。在本条目里研讨的第三定律是“弱版作用与反作用定律”。“强版作用与反作用定律”，除了弱版作用与反作用定律所要求的以外，还要求作用力和反作用力都作用在同一条直线上。[4]万有引力与静电力都遵守强版作用与反作用定律。可是，在某些状况下，作用力和反作用力并不同线（两作用点的连线）。例如，假设两个呈平移运动的电荷，平移速度相同，但并不垂直于两电荷的连线，则由毕奥-萨伐尔点电荷定律与洛伦兹力定律所计算出的作用力和反作用力并不同线，这对力只遵守弱版作用与反作用定律。又例如，假设两个呈平移运动的电荷，平移速度相互垂直，则它们各自感受到的电磁力不遵守弱版作用与反作用定律。[5][6]

第三定律并不是一种一般自然定律，它只适用于某些力，例如有心力。静电力、引力都是有心力，因此可以使用第三定律来做力学分析。任何涉及到物体速度的力都不是有心力，不能使用第三定律来做力学分析，例如，两个移动中的电荷彼此之间相互作用的力不是有心力，两个移动中的物体彼此之间相互作用的引力也不是有心力，第三定律不适用于这些力。[7]

牛顿的论述

拉丁文原版第三定律的英文与中文翻译分别为[3]

To every action there is always opposed an equal reaction: or the mutual actions of two bodies upon each other are always equal, and directed to contrary parts.

每一个作用都对应着一个相等反抗的反作用：或者，两个物体彼此之间的相互作用总是大小相等、方向相反。

马拖拉石头案例示意图。两个同样颜色的矢量表示一对作用力与反作用力。

牛顿用马拉石头的例子来解释。假设一匹马拖拉着石头，则马同样地也被石头拖拉，因为分别在两端系住了马和石头的绳索，其施加于马的张力 是源自于石头的拖拉，其试图朝着石头的方向（称为后方）拖拉马，类似地，绳索施加于石头的张力 是源自于马的拖拉，其试图朝着马的方向（称为前方）拖拉石头，这力 会阻碍马向前方移动，而力 则会促使石头朝着前方移动。[3]

既然马与石头都同样拖拉对方，为什么马与石头会朝着前方移动，而不是朝着后方移动？这是因为马与石头已经朝着前方呈匀速运动前进，石头感受到来自于马的张力 恰巧抵销了石头遭遇的摩擦力 （朝着后方），即 ，没有合力促使其加速或减速，马感受到来自于石头的张力 又恰巧抵销了地面施加于马的摩擦力 （朝着前方）， ，合力也等于零，所以马与石头仍旧会朝着马的方向呈匀速运动。注意到 与 不是一对作用力与反作用力； 与马施加于地面的摩擦力 是一对作用力与反作用力。同样地， 与 不是一对作用力与反作用力； 与马施加于地面的摩擦力 是一对作用力与反作用力。

假设最初马与石头都处于静止状态，而石头感受到来自于马的张力 大于石头遭遇的摩擦力 ，即 ，则石头感受到的合力 会促使石头呈加速度运动。由这加速度运动所生成的惯性力，其与合力之间的关系为大小相等、方向相反。

牛顿然后论述到碰撞问题。假设物体A碰撞到物体B，改变了物体B的运动，则物体A也会改变自己的运动。由于这碰撞而造成的两个物体各自对应的运动改变，假若没有其它外力介入，则两个物体动量的改变相等，而不是速度的改变相等。由于两个物体各自的动量改变，其大小相等、方向相反，所以每个物体的速度改变与质量成反比。[3]

牛顿用第三定律来推导出动量守恒。[8]但是，根据高等物理理论，动量守恒比第三定律更为基础。[注 1]适用于更广泛领域的动量守恒不需基于牛顿定律。[6]

为了要证实第三定律的正确性，牛顿提到了克里斯多佛·雷恩、约翰·沃利斯、克里斯蒂安·惠更斯与埃德姆·马略特使用单摆来对于硬物的碰撞规则所进行的一些调研。他还描述了一些自己使用铁球、木塞与玻璃等物体来完成的实验。从这些实验获得的数据，他总结，对于物体碰撞问题，实验结果与第三定律全吻合。[9]:95-96

牛顿又想出一个实验。假设在两个互相吸引的物体A、B之间，置入一个隔离体C，防止两个物体A、B聚集在一起。假若物体A或物体B之中有任何一个物体感受到更大的吸引力，例如，假若物体A感受到的吸引力大于物体B感受到的吸引力，则与物体B施加于隔离体C的压力相比较，物体A会施加更大的压力于隔离体C。因此，隔离体C不会处于平衡状态，它会与两个物体A、B所组成的系统共同朝着物体B的方向移动，而且永远呈加速度运动。这样的结果违背了第一定律。根据第一定律，假若无外力施加，则整个系统的运动速度不会改变。所以，物体A、B分别施加于隔离体C的压力，应该大小相等、方向相反；物体A、B彼此施加于对方的吸引力，也应该大小相等、方向相反。[10]

完成这实验并不困难。牛顿将磁石与铁块分别置入两只浮于水上的小船。由于磁石与铁块之间的吸引力，两只小船互相吸引，碰撞在一起，达成平衡静止状态。这样，牛顿证实了第三定律正确无误。[10]

成双结对的配对力

两位溜冰者彼此施加于对方的力，其大小相等，方向相反。虽然彼此施加的力的大小相等，两者各自的加速度并不一样。根据第二定律，质量较轻者的加速度比较大。

根据第三定律，力是物体与物体之间的相互作用，力必会成双结对地出现：[11]其中一道力称为“作用力”，而另一道力则称为“反作用力”（拉丁语 actio 与 reactio 的翻译），又称“抗力”；两道力的大小相等、方向相反。它们之间的分辨，是纯然任意的；任何一道力都可以被认为是作用力，而其对应的力自然地成为伴随的反作用力。这成对的作用力与反作用力称为“配对力”或“第三定律配对力”。[2]第三定律又称为“作用与反作用定律”。

假设在一个孤立系统里只有一个物体A，则这物体A绝不会感受到任何力的作用，必须存在有另外一个物体B施加力于这物体A，这物体A也绝不能施加任何力，必须存在有另外一个物体B感受这力的作用。[12]

假设在一个孤立系统里有两个物体A与B，则在任意时刻，物体A施加于物体B的力与物体B施加于物体A的力，其大小相等、方向相反，而且不会出现其中一道力先于另一道力的状况。[12]

错误和正确的基本物理概念

作用力与反作用力这基本物理概念，时常会被许多人一知半解地应用。[11][12]第三定律的现代表述为

在这里，必须清楚明了一个重点：这反作用力是施加于另外一个物体，而不是施加于感受到作用力的物体。举例而言，假设物体A、B彼此施加万有引力于对方，当物体A施加万有引力于物体B时（作用力），物体B也同时施加万有引力于物体A（大小相等、方向相反的反作用力）。[11]

另外，在分析配对力时，有一点必须铭记在心：反作用力与作用力的物理本质是完全相同的。假若作用力的本质是万有引力，那么，反作用力的本质也是万有引力。倘若作用力与反作用力的物理本质不相同，则分析必不正确。[11]

正确分析实例

  • 因为地球感受到太阳的万有引力，所以地球环绕着太阳进行轨道运动，同时，太阳也会感受到地球的万有引力。设定地球感受到的万有引力为作用力，则太阳感受到的万有引力是对应的反作用力，其与作用力大小相等、方向相反。因为太阳的质量超大于地球，所以地球的吸引似乎对于太阳并没有造成什么影响，然而，太阳的确有被地球影响。对于这两个天体的共同运动可以正确描述为，它们都环绕着整个太阳－地球系统的质心进行轨道运动。[13]
  • 假设在一条不能延伸的钢缆的一端悬挂着一个铅球，钢缆的另一端紧系于实验室的天花板。那么，铅球会被地球用万有引力所吸引，因此倾向于朝着实验室地板坠落。设定铅球感受到的万有引力为作用力，则铅球吸引地球的万有引力是对应的反作用力，这一对力的存在与钢缆完全无关，实际而言，假若没有钢缆，作用力与反作用力依旧存在。从另一方面看，钢缆施加于铅球的力的方向朝上，阻止铅球坠落，铅球也同时施加力于钢缆。设定钢缆施加于铅球的力为作用力，则铅球同时施加于钢缆的力是对应的反作用力，这一对作用力与反作用力的大小相等、方向相反。如果，相对于天花板，这简单的系统是静止不动的，则根据牛顿第一定律，铅球感受到的合外力等于零，这合外力是地球施加于铅球的地心引力与钢缆施加于铅球的力这两种不同力的矢量和。这两种力的大小相等、方向相反；也就是说，它们互补。但是，这并不表示它们是一对作用力与反作用力，这可以从它们都作用于同一个物体（铅球）的事实推断出来，它们彼此之间的关系不遵循牛顿第三定律。[13]
  • 为了要检查这些概念的解释是否正确，可以将钢缆改换为弹簧。如果相对于实验室参考系 ，这新系统最初是静止的，则前面的分析也适合。但是，如果这系统现在遭到摄动（例如，铅球被轻轻的推一下或拉一下），铅球开始上下震动，则由于铅球呈加速度运动，按照牛顿第一定律，合外力不等于零，可是，铅球与地球的质量都没有改变，铅球与地球质心之间的距离也几乎一样，所以，本质为万有引力的作用力与反作用力仍旧不变，不同的是现在这系统已变为动力系统，铅球感受到的万有引力暂时地与弹力失去平衡。弹力的大小与方向都随时间而改变（震动频律跟弹簧的弹簧常数有关）。弹力和弹簧的长度变化量成线性关系。[14]

错误分析实例

  • 第三定律时常会以一种简单，但不完全或不正确的句子陈述：
作用力与反作用力的大小相等、方向相反。[15]
对于每一道作用力，都有一道大小相等、方向相反的反作用力。[16]
这些句子并没有清楚地陈述出，作用力与反作用力是施加于不同的物体，并不是因为两道力恰巧大小相等、方向相反，它们就能够自动地配对形成符合第三定律的作用力与反作用力。
稳定置放在桌子上的书本感受到的各种力。对应于书本重量的反作用力是书本吸引地球的万有引力，而不是桌子施加于书本的力
  • 作用力与反作用力问题时常会跟静态平衡混淆；换句话说，假若作用力与反作用力大小相等、方向相反，则物体怎样移动？[17]例如，思考以下句子：
如右图所示，一本书稳定地置放在桌子上，书的重量 是一道将它往下拉的力，设定这道力为作用力，则其对应的反作用力是桌子施加于书本的力 ，这是一道将书本往上推的力，这两道力互相平衡。
上述句子并不符合第三定律的正确含意。这两道力的本质不同，这两道力都施加于同一个物体，它们不可能成为作用力－反作用力的力对。设定书本施加于桌子的接触力 是作用力，则其反作用力是桌子施加于书本的接触力 ，而且接触力 等于书的重量 。无论如何，静止的概念与第三定律毫不相关。事实上，书本重量是由于地球的万有引力所致，所以反作用力是书本作用于地球的万有引力，也就是说地球被向上吸引。[18][11]
  • 另外一个常见的错误观念：
离心力是向心力的反作用力。[19][注 2][21]
假设一个物体同时受到一道离心力与一道大小相等、方向相反的向心力，则可很确切地推断施加于这物体的合力等于零，这物体不会呈圆周运动，而会静止不动或呈匀速直线运动。[13]离心力是一种伪力：只有从非惯性参考系，才会测量出离心力的存在。[22][23]

历史

亚里士多德

早在古希腊时期，亚里士多德就已提出关于作用力和反作用力的概念。亚里士多德在著作《物理学》里表明，物体A作用于物体B，这是通过物体A接触到物体B，可是，接触是一种“相应关系”（reciprocal relation），当物体A接触到物体B时，物体B也接触到物体A。他在著作《论产生和毁灭》里更详细的表明，物体可以分为数天物体与属地物体两种，属天物体与属地物体不同，属天物体是由更为优级的物质组成，因此当属天物体作用于属地物体之时，属地物体不会作用于属天物体。他又补充声明，所有属地的物体都会相应地作用于对方，然而，假若两个物体的强弱相差太大，则弱者将没有足够能力来作用于强者，例如，假若一小滴酒掉入一大桶水，则这一小滴酒将会变为水，而不会改变在大桶里的水的性质。他在著作《论动物运动（英语：On movement of animals）》里对于走步的机械原理指出，为了实现走步，动物的足部必须压踩于固定物体，一般而言，当足部压踩于固定物体时，足部施加于物体的作用力会与物体施加于足部的反作用力完全平衡，只有当足部的作用力大于物体的反作用力时，动物才能实现走步。注意到亚里士多德从来没有以词语“作用力和反作用力”，而是以词语“相应作用”来表达他的论述，他认为，重点并不是当物体A作用于物体B时，物体A激发物体B反作用，而是当两个物体相互接触时，每一个物体会自己自主地作用于对方，这是一种对称性事件。[24]:25-27

后来的希腊亚里士多德学评论者，例如狄米斯提厄斯、约翰·菲勒庞厄斯与辛普利希厄斯，对于亚里士多德的观点都深信不疑，他们特别强调属天物体与属地球物体彼此之间的单向关系，属天物体与属地球物体之间绝对不会出现相应作用。[24]:27

十三世纪，随着亚里士多德的论述逐渐在西欧传开，西欧学者也开始接触到相应作用这论题，但是，在那时期，这论题并没有引起什么关注，直到十四世纪中期，在牛津的瓦尔特·博尔理（英语：Walter Burley）、理查·斯湾司黑德（英语：Richard Swineshead）与威廉·黑特斯博理（英语：William Haytesbury）、在巴黎的阿尔伯特与因根的马西利乌斯，在帕多瓦的 乔凡尼·卡撒理（英语：Giovanni Casali），才开始热烈辩论这论题。从十五世纪到十六世纪，在北意大利大学的一些学者，例如加埃塔诺·蒂内、吉欧帆尼·马利安尼（英语：Giovanni Marliani）等等，也都持续地关注这论题。通常而言，中世纪学者觉得，相互作用这点子非常艰涩；由于他们青睐研究天体行为，他们倾向于主张所有因果关系都具有非对称性，假若两个物体发生因果关系，强者会作用于弱者，并且改变弱者，而弱者不能作用于强者。一个物体是“施予者”，另一个是“承受者”，他们不能同时成为施予者与承受者。由于遇到种种困难，亚里士多德的相应作用概念逐渐地被默默抛弃了，取而代之的是，当较为强劲与主动的物体A作用于较为微弱与被动的物体B时，物体B会被激发而反作用于物体A，双方之中必定有一方逻辑优先于另一方。中世纪辩论随着皮特卢·庞珀拿济发表的著作《论反作用力》达到高潮，庞珀拿济在他的著作里详细研讨中世纪的各种论述，他总结，反作用力无疑会发生，然而并没有任何理论能够对之给出满意解释。[24]:27-28

在十六世纪后期与十七世纪早期，力学开始发展成为一门新科学。最早的力学专家，例如意大利的乔万尼·贝内戴蒂与伽利略·伽利莱、荷兰的西蒙·斯蒂文，都没有特别关注到作用力与反作用力论题，他们主要是在研究静力学与与动理学。直到1630年代，学者们才开始聚焦于研究属地物体的撞击问题，越来越被怀疑的老旧的亚里士多德学渐渐地被力学哲学取代，根据那时期的力学哲学，任何关于物体运动状态变化的问题都可以在原则上被约化为粒子的运动问题，碰撞问题是最典范的物体运动状态变化的问题之一，而这问题的唯一作用模式为接触碰撞。在这方面的研究可以分为动理分析与动力分析。动理分析专注于研究，在碰撞前后，物体的速度与动量的改变，通常会通过某种守恒原理来描述碰撞事件的物理行为。动力分析主要研究在碰撞物体的接触界面所产生的作用力，尝试以作用力的角度来明白碰撞现象。[24]:29-30

在动理分析方面，法国学者勒内·笛卡尔的论述是基于运动守恒原理与一些应用于各种物体碰撞案例的定律。在他的运动守恒原理里，守恒量被取名为“动量”，是重量与速率的乘积，是个标量，不是矢量。例如， 假设物体A撞击到物体B，促使物体B改变它先前的运动状态。对于这案例，按照笛卡尔的运动守恒原理，物体A所失掉的动量就是物体B所获得的动量，而总动量维持不变。在笛卡尔的论述里，没有动力学的作用力与反作用力，但会有类似的动理学变化，即任何物体A的运动状态变化会跟物体B的运动状态变化相互匹配。再举一个碰撞案例， 假设物体A撞击到物体B，并且两个物体都没有出现任何动量的获得或失掉，虽然一个或两个物体的运动方向有所逆反，特别而言，物体A碰撞到无法移动的物体B，物体A因此以相同速率反向移动。对于这案例，笛卡尔认为，这不应该被视为物体A与物体B之间的相互作用，而应该被视为物体B的存在造成了物体A的方向被逆反。[24]:30-31

捷克医生马克斯·马希（英语：Marcus Marci）是动力分析的开拓者，他用冲量来量度物体的碰撞。在这里，冲量是个矢量，定义为物体的重量与速度的乘积，是物体内秉的性质，物体按照自己所拥有的冲量来移动自己或改变其它物体的运动。 假设两个碰撞物体的冲量的大小相等，或者一个物体与固定墙壁发生弹性碰撞，对于这两个案例，马希认为，作用力与反作用力相等。对于某些其它案例，马希的分析似乎意味着冲量较小的物体会施加较小的反作用力。[24]:31

十七世纪中期，作用力与反作用力论题在英国受到日增月益的关注，肯能姆·迪格比（英语：Kenelm Digby）在1644年发表的著作《两篇论文》（Two treatises）已卖到第三版，他在著作里主张，任何作用力都会涉及到反作用力，但是作用力与反作用力并不一定会相等。创建机械哲学的英国哲学家汤玛斯·霍布斯在1656年著作《哲学基础》（Elements of philosophy）里明确指出，作用力与反作用力的方向相反。[24]:32-34 迪格比与霍布斯是良朋益友，他们常常在科研方面相互切磋琢磨。他们还有一个好朋友汤玛斯·怀特（英语：Thomas White），他在1657年发表了著作《欧几里得科学家》（Euclides physicus），其终结了在亚里士多德学里关于作用力与反作用力的论述。在这本书里，怀特明确地断言，任何作用力都会引发大小相等、方向相反的反作用力。然而，对于作用力与反作用力的大小之所以会相等，他并没有给出正确解释。怀特的理论是亚里士多德学与力学的各种元素混合在一起的产物。如同亚里士多德与笛卡尔，他认为不存在真空，整个空间都弥漫着某种介质。但他不赞同笛卡尔所鼓吹的惯性原理，他觉得，只当受到外在影响时，物体才会移动，假若失去外在影响，则物体最终将会停止移动。怀特主张，假设物体A撞击到物体B，则物体A会在接触点压迫物体B，促使物体产生抵抗力，假若物体A的作用力足以克服物体B的抵抗力，使得物体B移动穿过环绕在四周的介质，则由于介质会抵抗被穿过，会产生反作用力于物体B，因此，物体A的作用力会被物体B的抵抗力与介质的反作用力抵销。[24]:35-36

牛顿是否知悉这些前人的研究？他应该不曾阅读过《欧几里得科学家》，因为在那时期并没有什么科学文献以这本书为参考来源，尽管哥特佛莱德·莱布尼兹曾经仔细阅读过这本书，并且在私人手稿里对于这本书详细做摘要。在1660年代，牛顿曾经阅读了迪格比的著作《两篇论文》和霍布斯 的著作《哲学基础》。他很可能也曾经阅读过收藏在剑桥大学伊萨克·巴罗的图书馆的著作《时间展望》。在这本发表于1648年的著作里，作者法国物理学者艾曼纽·麦格南（英语：Emmanuel Maignan）提出几个引理。第一个引理是以万有原理的方式阐明，任何作用力都会产生反作用力。第三个引理阐明，对于圆球坠落于平面的特别案例，作用力与反作用力相等。[24]:33。所以，牛顿并不是凭空原创出第三定律，这定律的雏形老早就出现在亚里士多德的理论里，后来又出现在许多在牛顿以前地物理学者的著作里。[24]:37

大约在1664年到1668年间，年龄才二十出头的牛顿开始研精覃思关于力学方面的论题。在被他称为“废书”（Waste Book）的笔记里，在一个名为“公理与命题”的列表里有几条命题是第三定律的早期版本，例如，[9]:98-99

命题7：假设两个物体a与b朝着同样方向往点O移动，而且物体a赶上了物体b，则它们将不会失去任何运动，因为物体a对于物体b的压挤相等于物体b对于物体a的压挤，因此物体a的运动减少多少，物体的b的运动也会增加多少。

命题8：假设两个物体a与b朝着对方移动，并且在点O相遇，则它们将不会失去运动的差别与方向。对于这碰撞事件，它们同样地压挤于对方，因此，其中任何物体都不会比对方失去更多运动，它们的运动差别不会被摧毁。

在命题9里，牛顿声称，假设两个同样的物体以大小相同的运动速率对撞在一起，然后以同样速率反弹回去，在碰撞过程中，由于两个物体会相互压挤对方，两个物体之间的弹力会促使运动停止，然后，随着物体形状的恢复，物体的速率也会增加，最终两个物体的运动速率会等同先前，但方向会被逆反。

从1669年到1684年，在这15年间，牛顿都没有踏足于力学领域，但是之后，他又再度开始研究力学，他起草了6条运动定律，其中，第三条定律读为，[9]:100

任何物体施加于其它物体多少作用，这物体也会感受到多少反作用；在这作用中，这物体的任何压挤或拖拉其它物体，在反作用中，这物体也会同样地被其它物体压挤或拖拉　…　假若一个物体撞击另外一个物体，靠着自己的力去改变那个物体的运动，那么，这个物体的运动也会被那个物体的力同样地改变。假若磁铁吸引铁，它自己也会同样地被吸引，对于其它案例，这也会照样地成立。

参阅

麻省理工学院物理教授瓦尔特·列文讲解第三定律。[25]

注释

  1. ^ 应用诺特定理，可以从伽利略不变性推导出动量守恒。[6]
  2. ^ 1711年，有一次牛顿在驳斥戈特弗里德·莱布尼茨的论述时表示，按照第三运动定律，离心力永远与万有引力大小相等、方向相反。[20]注意到万有引力是一种向心力。

参考资料

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  24. ^ 24.00 24.01 24.02 24.03 24.04 24.05 24.06 24.07 24.08 24.09 Russel, John, Action and Reaction before Newton, British Journal for the History of Science, 1976, 9 (1): 25–38, JSTOR 4025704, doi:10.1017/S0007087400014473 
  25. ^ Walter Lewin, Newton's First, Second, and Third Laws （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Lecture 6. (14:11–16:00)

参考书籍

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