无量纲量
在量纲分析中,无量纲量[1](dimensionless quantity)又称无因次量、量纲为一的量[2][3](quantity of dimension one)[注 1]指的是没有量纲的量。它是个单纯的数字,量纲为1[4]。
无量纲量在数学、物理学、工程学、经济学以及日常生活中(如数数)被广泛使用。一些广为人知的无量纲量包括圆周率(π)、欧拉常数(e)和黄金分割率(φ)等。与之相对的是有量纲量,拥有诸如长度、面积、时间等单位。
无量纲量常写作两个有量纲量之积或比,但其最终的纲量互相消除后会得出无量纲量。比如,应变是量度形变的量,定义为长度差与原先长度之比。但由于两者的量纲均为L(长度),因此相除后得出的量是没有量纲的。
属性
- 虽然无量纲量本身没有量纲,但是它也有时被加以无量纲的单位。在分子和分母使用同样的单位(kg/kg或mol/mol),有时可以帮助表达所测量的数值(如质量百分浓度或摩尔分数等)。某些量还可以表示为不同的单位之比,但这两个单位的量纲相同(如光年除以米)。这种做法可以用于计算图表中的斜率,或者进行单位转换。这样的写法并不意味着存在量纲,而只不过是符号表达上的惯例。其他常用的无量纲量有:%=0.01,百分比;‰=0.001,千分比;ppm=10−6,百万分比;ppb=10−9,十亿分比;ppt=10−12,兆分比(万亿分比)以及角单位(度、弧度、百分度)等等。
- 两个具有相同量纲之比是没有量纲的,而且无论用什么单位计算,该量还是不变的。例如,如果物体A对物体B施大小为F的作用力,那B也会向A施大小为f的力。两个力的比率F/f永远等于1(见牛顿第三定律),而不取决于测量F和f所用的单位。这是因为物理中一个重要的假设:物理定律是独立于人们选用的单位制的。如果以上的F/f不经常等于1,而在我们从国际单位制转用厘米-克-秒制时改变了的话,这就意味着牛顿第三定律的真伪要看我们选取哪一种单位制,而这就与假设矛盾了。这一假设是白金汉π定理的基础,其表述为:所有物理定律均能以数个无量纲量的数学组合(加、减、乘、除等等)写成恒等式。如果无量纲量组合后的值在替换所用单位制后改变了的话,那么白金汉π定理就不成立了。
白金汉π定理
白金汉π定理的另一项推论为,如果n个变数之间有某种函数关系,而这些变数中有k个独立的量纲,则可以产生p = n − k个独立的无量纲量。
例子
某磁力搅拌器的电功率是被搅拌液体的密度和黏度、搅拌器的直径及搅拌速度的函数。因此这里共有n = 5个变量
这n = 5个变量共由以下k = 3个量纲组成:
- 长度:L (m)
- 时间:T (s)
- 质量:M (kg)
根据该定理,通过组合这n = 5个变量,可以得出p = n − k = 5 − 3 = 2个独立的无量纲量。此例中的这两个无量纲量分别为:
例子
- 在10个苹果中,有1个是坏了的。总苹果数中坏苹果的比例为1个苹果/10个苹果= 0.1 = 10%,这是个无量纲量。
- 角:角的定义为,以圆心为顶点划出的弧的长度除以某另一长度。这个比率由长度除以长度所得,因此是个无量纲量。当所用的(无量纲)单位为弧度时,那个“另一长度”就是圆的半径。当单位为角度时,“另一长度”就是圆周长的360分之1。
- 圆周率是个无量纲量,定义为圆周长与直径之比。该数值无论在用什么单位量度这些长度时(厘米、英里、光年等等)都会是相同的,只要周长和直径以同样的单位量度。
无量纲量列表
下表中所有的量均为无量纲量:
名称 | 标准符号 | 定义 | 应用范畴 |
---|---|---|---|
阿贝数 | V | 光学(光的色散) | |
活度系数 | γ | 化学(活跃分子或原子占总数之比) | |
反照率 | 气候学、天文学 | ||
劳仑兹因子 | 相对论 | ||
阿基米德数 | Ar | 密度差造成的流体运动 | |
阿伦尼乌斯数 | 活化能与热能之比[5] | ||
相对原子质量 | M | 化学 | |
伯格诺德数 | Ba | 固体块的流动(如米粒或沙子)[6] | |
比赞数 (热力学) |
Be | 热传导不可逆性与由于热传导和流体阻力的总不可逆性之比[7] | |
比赞数 (流体力学) |
Be | 沿着通道的压力差[8] | |
宾汉数 | Bm | 屈服应力与黏滞应力之比[5] | |
毕奥数 | Bi | 固体的表面传导率与体积传导率之比 | |
布莱克数 | Bl或B | 流体穿过多孔介质时惯性相对黏滞力的重要性 | |
博登斯坦数 | Bo | 停留时间的分布 | |
邦德数 | Bo | 由浮力推动的毛细作用[9] | |
布林克曼数 | Br | 从容器壁到黏性流体的热传导 | |
Brownell-Katz数 | 毛细管数和邦德数的组合 | ||
毛细管数 | Ca | 受表面张力影响的流体流动 | |
钱德拉塞卡数 | 磁对流,用以表达洛伦兹力与黏度之比 | ||
静摩擦系数 | 物体间的静摩擦 | ||
动摩擦系数 | 物体互相滑动时的摩擦 | ||
柯尔伯恩j因数 | 热传导的无量纲系数 | ||
库朗数 | 双曲型偏微分方程之解[10] | ||
达姆科勒数 | Da | 反应时间与共振时间之比 | |
阻尼比 | 系统中阻尼的程度 | ||
达西阻力系数 | 或 | 流体流动 | |
狄恩数 | D | 弯曲管道中的流体涡 | |
底波拉数 | De | 粘弹性流体的流动学 | |
分贝 | dB | 两个强度之比,通常用于声音 | |
阻力系数 | 流动阻力 | ||
Dukhin数 | Du | 异质系统中表面电导率与体积电导率之比 | |
欧拉常数 | e | 数学 | |
埃克特数 | Ec | 热对流传导 | |
埃克曼数 | Ek | 地球物理学(黏质阻力) | |
弹性 | E | 经济学,常用于量度供给和需求如何受价格变化的影响 | |
厄特沃什数 | Eo | 判断汽泡或液滴形状 | |
埃里克森数 | Er | 液晶流动特性 | |
欧拉数 (物理学) | Eu | 流体动力学(压力与惯性力之比) | |
过量温度系数 | Θr | 热力学与流体动力学[11] | |
范宁摩擦系数 | f | 管道中的流体流动[12] | |
费根鲍姆常数 | 混沌理论(周期倍增)[13] | ||
精细结构常数 | 量子电动力学 | ||
焦比 | 光学、摄影 | ||
Foppl-von Karman数 | 薄壳失稳 | ||
傅里叶数 | Fo | 热传导 | |
菲涅耳数 | F | 狭缝衍射[14] | |
福禄数 | Fr | 波和表面行为 | |
增益 | 电子学(信号输出与信号输入之比) | ||
速比 | 单车传动[15] | ||
伽利莱数 | Ga | 引力造成的黏质流动 | |
黄金分割比 | 数学、美学 | ||
格雷茨数 | Gz | 热流 | |
格拉斯霍夫数 | Gr | 自由对流 | |
重力耦合常数 | 重力 | ||
八田数 | Ha | 化学反应造成的吸附增强 | |
哈根数 | Hg | 强制对流 | |
水力梯度 | i | 地下水流动 | |
雅各布数 | Ja | 液汽相变时所吸收的显能与潜能之比[16] | |
Karlovitz数 | 湍流燃烧 | ||
Kc数 | 震荡流场中物体的阻力与惯性之比 | ||
克努森数 | Kn | 分子平均自由程长度与某代表性长度之比 | |
尿素清除指数 | Kt/V | 医学 | |
Kutateladze数 | K | 两相逆流 | |
拉普拉斯数 | La | 混溶流体中的自由对流 | |
路易斯数 | Le | 质量扩散率与热扩散率之比 | |
升力系数 | 在某攻角下翼型的升力 | ||
Lockhart-Martinelli参数 | 湿气的流动 [17] | ||
乐甫数 | 地球的硬性 | ||
伦德奎斯特数 | ratio of a resistive time to an Alfvén wave crossing time in a plasma | ||
马赫数 | M | 气体动力学 | |
磁雷诺数 | 磁流体力学 | ||
曼宁糙率系数 | n | 开放管道流体流动(由引力推动)[18] | |
马兰戈尼数 | Mg | 由热表面张力偏差引起的马兰戈尼流 | |
莫顿数 | Mo | 判断汽泡或液滴形状 | |
彭巴数 | 溶液冷冻时的热传导与扩散[19] | ||
努塞尔特数 | Nu | 强制对流下的热传导 | |
奥内佐格数 | Oh | 液体雾化,马兰戈尼流 | |
佩克莱特数 | Pe | 平流-扩散问题,总动量传递和分子热传递之间的关系 | |
剥离数 | 微观结构与底物的黏附作用[20] | ||
导流系数 | K | 在带电离子束中空间电荷的强度 | |
圆周率 | 数学(圆周长与直径之比) | ||
泊松比 | 弹性(横向与纵向负荷) | ||
多孔性 | 地质学 | ||
功率因数 | 电子学(有功功率与视在功率之比) | ||
功率数 | 搅拌器的功率消耗 | ||
普兰特数 | 黏性扩散率与热扩散率之比 | ||
压力系数 | 翼型上某个点的压力 | ||
品质因子 | 描述振子的阻尼 | ||
弧度 | 量度平面角, | ||
瑞利数 | 自由对流中的浮力和黏滞力 | ||
折射率 | n | 电磁学、光学 | |
雷诺数 | 流体的惯性力与黏滞力之比[5] | ||
比重 | RD | 比重计,物质间的比较 | |
理查逊数 | Ri | 浮力对流动稳定性的影响[21] | |
洛氏硬度 | 硬度 | ||
滚动阻力系数 | Crr | 车辆动力学 | |
罗斯贝数 | 地球物理学中的惯性力,描述科里奥利力的影响程度 | ||
劳斯数 | Z或P | 沉积物流移 | |
施密特数 | Sc | 流体动力学(质量转移与扩散)[22] | |
形状因数 | H | 边界层流动中排移厚度与动量厚度之比 | |
舍伍德数 | Sh | 强制对流中的质量转移 | |
希尔兹参数 | τ∗或θ | 流体运动造成的沉积物流移的临界 | |
索默菲德数 | 边层润滑[23] | ||
斯坦顿数 | St | 强制对流中的热传递 | |
斯蒂芬数 | Ste | 相变时的热传递 | |
斯托克斯数 | 或 | 流体流中的粒子动力学 | |
应变 | 材料科学、弹性 | ||
斯特劳哈尔数 | St或Sr | 持续并脉动的流体流动[24] | |
泰勒数 | Ta | 旋转的流体流动 | |
Ursell数 | U | 在浅流体层上表面引力波的非线性度 | |
Vadasz数 | Va | 在多孔介质中流体流动时,该数影响多孔性、普兰特数以及达西阻力系数 | |
范特霍夫因子 | i | 化学定量分析(Kf及Kb) | |
Wallis参数 | J* | 多相流体流动时的表现速 | |
韦伯数 | We | 表面极为弯曲的多相流体流动 | |
魏森贝格数 | Wi | 粘弹性流体流动[25] | |
沃默斯利数 | 持续并脉动的流体流动[26] |
无量纲的物理常数
一些基本物理常数,如真空中的光速、万有引力常数、普朗克常数和波兹曼常数等等,在适当挑选时间、长度、质量、电荷及温度等单位后,可以归一(数值为1)。这种单位制被称为自然单位制。不过不可能在每一个单位制中都把所有的物理常数归一,剩余的量必须以实验判定。这些剩余的量包括:
- α:精细结构常数,电磁交互作用的耦合常数,α ≈ 1/137;
- μ或β:质子与电子的不变质量之比,可更广义地指所有基本粒子相对电子的不变质量之比,μ ≈ 1836;
- αs:强相互作用的耦合常数;
- αG:重力的耦合常数,αG ≈ 1.75×10−45。
注释
- ^ 其他称呼另有:无维量、无维度量、无维数量、无次元量等
参见
参考文献
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外部链接
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