拉萨尔不变集原理

拉萨尔不变集原理（LaSalle's invariance principle）也称为不变集原理（invariance principle）、Barbashin-克拉索夫斯基-拉萨尔原理（Barbashin-Krasovskii-LaSalle principle）或克拉索夫斯基-拉萨尔原理（Krasovskii-LaSalle principle），是自治动力系统（可能是非线性系统）李雅普诺夫稳定性的判断准则。

全域稳定性版本

考虑以下方程式的系统

${\dot {\mathbf {x} }}=f\left(\mathbf {x} \right)$

其中$\mathbf {x}$为符合以下条件的变数向量

$f\left(\mathbf {0} \right)=\mathbf {0} .$

若可以找到$C^{1}$ 函数 $V(\mathbf {x} )$，使下式成立

${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$针对所有$\mathbf {x}$（半负定）

则任何轨迹中聚点（accumulation point）的集合都在${\mathcal {I}}$内， ${\mathcal {I}}$是其完整轨迹完全在$\{\mathbf {x} :{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}$集合的联集。

若$V$函数又有正定的性质，即

$V(\mathbf {x} )>0$，针对所有的$\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$

$V(\mathbf {0} )=0$

而且${\mathcal {I}}$除了$\mathbf {x} (t)=\mathbf {0}$ for $t\geq 0$的平凡轨迹外，未包括其他轨迹，则原点为李雅普诺夫稳定性。

再者，若$V$是径向无界（radially unbounded）

当$\Vert \mathbf {x} \Vert \to \infty$时，$V(\mathbf {x} )\to \infty$

原点为全域渐近稳定。

局部稳定性版本

若

$V(\mathbf {x} )>0$，当$\mathbf {x} \neq \mathbf {0}$时

${\dot {V}}(\mathbf {x} )\leq 0$

当$\mathbf {x}$在原点的邻域$D$内才成立，且集合

$\{{\dot {V}}(\mathbf {x} )=0\}\bigcap D$

除了$\mathbf {x} (t)=\mathbf {0} ,t\geq 0$的轨迹外，不包括其他系统的轨迹，则依照拉萨尔不变集原理的局部稳定版本，原点有局部的渐近稳定性。

和李雅普诺夫稳定性的关系

If ${\dot {V}}(\mathbf {x} )$为负定，则原点的全域渐进稳定是李雅普诺夫第二定理的结果。若${\dot {V}}(\mathbf {x} )$只是半负定，不变集原理也是判断渐近稳定性的准则。

例子：有摩擦力的单摆

此段落会用不变集原理来确立简单系统的区部渐近稳定性。此系统的微分方程如下^[1]：

$ml{\ddot {\theta }}=-mg\sin \theta -kl{\dot {\theta }}$

其中$\theta$是单摆的角度，以垂直往下的角度为0度，$m$是单摆的质量，$k$是摩擦系数，g是因重力产生的加速度。

因此可以将系统方程式表示如下

${\dot {x}}_{1}=x_{2}$

${\dot {x}}_{2}=-{\frac {g}{l}}\sin x_{1}-{\frac {k}{m}}x_{2}$

利用不变集原理，可以证明一定大小的球体，若初始位置在原点附近$x_{1}=x_{2}=0$，可以证明其所有的轨迹都会渐近收敛到原点。定义$V(x_{1},x_{2})$为

$V(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}(1-\cos x_{1})+{\frac {1}{2}}x_{2}^{2}$

$V(x_{1},x_{2})$即为系统的能量^[2]。$V(x_{1},x_{2})$在原点附近，半径$\pi$的开球体内为正定。计算其导数

${\dot {V}}(x_{1},x_{2})={\frac {g}{l}}\sin x_{1}{\dot {x}}_{1}+x_{2}{\dot {x}}_{2}=-{\frac {k}{m}}x_{2}^{2}$

可观察到$V(0)={\dot {V}}(0)=0$。若${\dot {V}}<0$成立，可以依李雅普诺夫第二定理得到所有轨迹都会到达原点的结论。不过很可惜，${\dot {V}}\leq 0$及${\dot {V}}$只是半负定。不过，以下集合

$S=\{(x_{1},x_{2})|{\dot {V}}(x_{1},x_{2})=0\}$

也就是

$S=\{(x_{1},x_{2})|x_{2}=0\}$

除了平凡轨迹x = 0外，不包括系统内的任何轨迹。若在特定时间 $t$, $x_{2}(t)=0$，则因为$x_{1}$必需小于$\pi$，则$\sin x_{1}\neq 0$且${\dot {x}}_{2}(t)\neq 0$。因此，轨迹不会停留在集合$S$内。

不变集原理的所有条件都满足，也可以下结论说：所有在原点附近的轨距，当$t\rightarrow \infty$时，最后都会收敛到原点^[3]。

历史

此结果是由约瑟夫·皮尔·拉萨尔（在RIAS）及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基两人独立发现，两人分别在1960年及1969年发表。约瑟夫·皮尔·拉萨尔在1960年发表此论文，是西方第一位发表此定理的人，而1952年由Barbashin及尼古拉·尼古拉耶维奇·克拉索夫斯基曾提到此定理中的特例，而1959年时由克拉索夫斯基发表了一般性的定理^[4]。

相关条目

• 稳定性理论
• 李雅普诺夫稳定性

原始论文

• LaSalle, J.P. Some extensions of Liapunov's second method, IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520–527, 1960. (PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆）)
• Barbashin, E. A.; Nikolai N. Krasovskii. Об устойчивости движения в целом [On the stability of motion as a whole]. Doklady Akademii Nauk SSSR. 1952, 86: 453–456 （俄语）. 
• Krasovskii, N. N. Problems of the Theory of Stability of Motion, (Russian), 1959. English translation: Stanford University Press, Stanford, CA, 1963.

教科书

• LaSalle, J.P.; Lefschetz, S. Stability by Liapunov's direct method. Academic Press. 1961. 
• Haddad, W.M.; Chellaboina, VS. Nonlinear Dynamical Systems and Control, a Lyapunov-based approach. Princeton University Press. 2008 [2019-04-30]. ISBN 9780691133294. （原始内容存档于2019-04-30）. 
• Teschl, G. Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society. 2012 [2019-04-30]. ISBN 978-0-8218-8328-0. （原始内容存档于2012-06-26）. 
• Wiggins, S. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos 2. New York City: Springer Verlag. 2003. ISBN 0-387-00177-8. 

教材

• 德克萨斯州农工大学不变集原理的讲义（PDF）
• 北卡罗来纳州立大学拉萨尔不变集原理的讲义（PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• 加利福尼亚理工学院拉萨尔不变集原理的讲义（PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• 麻省理工学院拉萨尔稳定性分析及不变集原理的开放讲程讲义（PDF （页面存档备份，存于互联网档案馆））
• 普渡大学稳定性理论及拉萨尔不变集原理的讲义（PDF）

参考资料

1. ^ Lecture notes on nonlinear control （页面存档备份，存于互联网档案馆）, University of Notre Dame, Instructor: Michael Lemmon, lecture 4.
2. ^ ibid.
3. ^ Lecture notes on nonlinear analysis （页面存档备份，存于互联网档案馆）, National Taiwan University, Instructor: Feng-Li Lian, lecture 4-2.
4. ^ Vidyasagar, M. Nonlinear Systems Analysis, SIAM Classics in Applied Mathematics, SIAM Press, 2002.