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拉莫尔方程 ”标题相近或相同的条目页，请见“
拉莫尔进动 ”。
八木天线 ，无线电波可由天线中的加速电子产生。此为相干性 过程，因此辐射总功率和电子加速度的平方成正比。在电动力学 的领域中，拉莫尔方程 （英语：Larmor formula ）是用来计算非相对论性点电荷在有加速度的状态下释放电磁波的总功率。本公式是由约瑟夫·拉莫尔 于1897年提出的光的波动理论一部分。
当任何点电荷（例如电子）有正或负的加速度时，会以电磁辐射的形式释放能量。对于远小于光速的状态下，总辐射能量可用如下方程表示：
P
=
e
2
a
2
6
π
ε
0
c
3
{\displaystyle P={\frac {e^{2}a^{2}}{6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}{\mbox{ }}}
P
=
2
3
e
2
a
2
c
3
{\displaystyle P={2 \over 3}{\frac {e^{2}a^{2}}{c^{3}}}{\mbox{ }}}
公式中
a
{\displaystyle a}
e
{\displaystyle e}
c
{\displaystyle c}
李纳-维谢势 给定。
首先必须要找到电场和磁场的形式，可使用以下形式表示（更完整推导请参见李纳-维谢势 ）：
E
→
(
r
→
,
t
)
=
q
(
n
→
−
β
→
γ
2
(
1
−
β
→
⋅
n
→
)
3
R
2
)
r
e
t
+
q
c
(
n
→
×
[
(
n
→
−
β
→
)
×
β
˙
→
]
(
1
−
β
→
⋅
n
→
)
3
R
)
r
e
t
{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)=q\left({\frac {{\vec {n}}-{\vec {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {{\vec {n}}\times [({\vec {n}}-{\vec {\beta }})\times {\vec {\dot {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}
以及
B
→
=
n
→
×
E
→
{\displaystyle {\vec {B}}={\vec {n}}\times {\vec {E}}}
此处
β
{\displaystyle \mathbf {\beta } }
c 的商
β
˙
{\displaystyle \mathbf {\dot {\beta }} }
c 的商
n
{\displaystyle \mathbf {n} }
r
−
r
0
{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}
R
{\displaystyle R}
r
−
r
0
{\displaystyle \mathbf {r} -\mathbf {r} _{0}}
而以下公式右方则是计算推迟时间
t
′
=
t
−
R
c
{\displaystyle t'=t-{R \over c}}
场方程本身会分离为速度场和加速度场。速度场只与β相关，而加速度场则和
β
{\displaystyle \beta \,}
β
˙
{\displaystyle {\dot {\beta }}}
R
−
2
{\displaystyle R^{-2}}
R
−
1
{\displaystyle R^{-1}}
而辐射场的能量通量 密度可使用坡印亭矢量 得知：
S
→
=
c
4
π
E
→
a
×
B
→
a
{\displaystyle {\vec {S}}={\frac {c}{4\pi }}{\vec {E}}_{a}\times {\vec {B}}_{a}}
上式中下标'a'则强调是在加速度场的分量。以磁场和电场关系进行取代，同时假设粒子在特定时间
t
r
{\displaystyle t_{r}}
S
→
=
q
2
4
π
c
|
n
→
×
(
n
→
×
β
˙
→
)
R
|
2
.
{\displaystyle {\vec {S}}={\frac {q^{2}}{4\pi c}}\left|{\frac {{\vec {n}}\times ({\vec {n}}\times {\vec {\dot {\beta }}})}{R}}\right|^{2}.}
当
β
(
t
r
)
≠
0
{\displaystyle \beta \left(t_{r}\right)\neq 0}
如果让加速度和观测者方向的矢量夹角相等于
θ
{\displaystyle \theta }
S
→
=
q
2
4
π
c
3
R
2
sin
2
θ
|
V
˙
→
|
2
n
^
.
{\displaystyle {\vec {S}}={\frac {q^{2}}{4\pi c^{3}R^{2}}}\sin ^{2}{\theta }|{\vec {\dot {V}}}|^{2}{\hat {n}}.}
其实这是电荷辐射在每单位立体角下的单位功率。可使用积分计算完整立体角下的功率，即：
P
=
2
3
q
2
|
V
˙
→
|
2
c
3
.
{\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}|{\vec {\dot {V}}}|^{2}}{c^{3}}}.}
以上公式就是非相对论性下有加速度电荷所释放辐射的功率，功率大小与加速度相关。这公式明确表示加速度较高电荷会产生较强辐射，我们可以期望辐射场和加速度相关。
此方法出自爱德华·珀塞尔 《电与磁》书中。[ 1]
这种逼近法是基于光速是有限的。一个以等速度运动的带电粒子有径向的电场
E
r
{\displaystyle E_{r}}
R
{\displaystyle R}
E
t
=
0
{\displaystyle E_{t}=0}
E
r
{\displaystyle E_{r}}
E
t
{\displaystyle E_{t}}
1
/
R
2
{\displaystyle 1/R^{2}}
因此，距离电荷很远处的径向分量相对于切向分量是可以忽略的，此外，和
1
/
R
2
{\displaystyle 1/R^{2}}
1
/
R
4
{\displaystyle 1/R^{4}}
切线方向分量可以表示为（SI单位制）：
E
t
=
e
a
sin
(
θ
)
4
π
ε
0
c
2
R
.
{\displaystyle E_{t}={{ea\sin(\theta )} \over {4\pi \varepsilon _{0}c^{2}R}}.}
为了得到拉莫方程，必须要对所有的角度进行积分，在距离电荷的
R
{\displaystyle R}
E
t
{\displaystyle E_{t}}
S
=
E
t
2
μ
0
c
r
^
=
e
2
a
2
sin
2
(
θ
)
16
π
2
ε
0
c
3
R
2
r
^
{\displaystyle \mathbf {S} ={E_{t}^{2} \over \mu _{0}c}\mathbf {\hat {r}} ={{e^{2}a^{2}\sin ^{2}(\theta )} \over {16\pi ^{2}\varepsilon _{0}c^{3}R^{2}}}\mathbf {\hat {r}} }
因此在SI单位制下可得到：
P
=
e
2
a
2
6
π
ε
0
c
3
{\displaystyle P={{e^{2}a^{2}} \over {6\pi \varepsilon _{0}c^{3}}}}
上式在数学上和下式相等：
P
=
μ
0
e
2
a
2
6
π
c
{\displaystyle P={{\mu _{0}e^{2}a^{2}} \over {6\pi c}}}
在这里必须将拉莫方程以动量的形式重新表示，接着使用四个矢量的广义动量
P
μ
{\displaystyle P^{\mu }}
四维动量 ）。这里我们知道功率是洛伦兹不变量 ，所以我们要表明的是广义动量也不变，因此将会退化至低速限制条件下的拉莫方程，即：
P
=
2
3
q
2
c
3
m
2
(
d
p
→
d
t
⋅
d
p
→
d
t
)
.
{\displaystyle P={\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{c^{3}m^{2}}}\left({\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\cdot {\frac {d{\vec {p}}}{dt}}\right).}
假设在广义坐标下的公式是：
P
=
−
2
3
q
2
m
2
c
3
d
P
μ
d
τ
d
P
μ
d
τ
.
{\displaystyle P=-{\frac {2}{3}}{\frac {q^{2}}{m^{2}c^{3}}}{\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}.}
当我们将四矢量动量的积展开并重新排列时可得：
d
P
μ
d
τ
d
P
μ
d
τ
=
v
2
c
2
(
d
P
d
τ
)
2
−
(
d
p
→
d
τ
)
2
{\displaystyle {\frac {dP^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dP_{\mu }}{d\tau }}={\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {dP}{d\tau }}\right)^{2}-\left({\frac {d{\vec {p}}}{d\tau }}\right)^{2}}
在这里已知
d
E
d
τ
=
P
c
2
E
d
P
d
τ
=
v
d
P
d
τ
{\displaystyle {\frac {dE}{d\tau }}={\frac {Pc^{2}}{E}}{\frac {dP}{d\tau }}=v{\frac {dP}{d\tau }}}
β
{\displaystyle \beta }
γ
{\displaystyle \gamma }
d
τ
{\displaystyle d\tau }
这是一个有趣的方程。这个方程表示由例子释放入空间的辐射功率和动量随时间的变化率有关。它也表示辐射的功率和电荷量的平方成正比，但和质量的平方成反比。因此一个带大量电荷但体积极小的粒子释放辐射功率将远大于大质量的低电荷粒子。
为了获得广义坐标下的非协变形式拉莫方程，首先要以
p
μ
=
(
γ
m
c
2
,
γ
m
v
→
)
{\displaystyle p^{\mu }=(\gamma mc^{2},\gamma m{\vec {v}})}
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
−
(
d
p
→
d
τ
)
2
+
1
c
2
(
d
E
d
τ
)
2
{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\left({\frac {d{\vec {p}}}{d\tau }}\right)^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}\left({\frac {dE}{d\tau }}\right)^{2}}
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
−
γ
2
(
d
γ
m
v
→
d
t
)
2
+
γ
2
c
2
(
d
γ
m
c
2
d
t
)
2
{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\gamma ^{2}\left({\frac {d\gamma m{\vec {v}}}{dt}}\right)^{2}+{\frac {\gamma ^{2}}{c^{2}}}\left({\frac {d\gamma mc^{2}}{dt}}\right)^{2}}
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
−
γ
2
[
−
(
γ
m
v
˙
→
+
γ
3
m
v
→
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
)
2
+
1
c
2
(
γ
3
β
→
⋅
β
˙
→
m
c
2
)
2
]
{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\gamma ^{2}[-(\gamma m{\vec {\dot {v}}}+\gamma ^{3}m{\vec {v}}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}))^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\gamma ^{3}{\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}mc^{2})^{2}]}
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
γ
8
m
2
c
2
[
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
2
−
(
β
→
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
+
β
˙
→
γ
2
)
2
]
{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}-({\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})+{\frac {\vec {\dot {\beta }}}{\gamma ^{2}}})^{2}]}
⇒
d
p
μ
d
τ
d
p
μ
d
τ
=
γ
8
m
2
c
2
(
−
1
γ
2
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
2
−
β
˙
→
2
γ
4
)
.
{\displaystyle \Rightarrow {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}\left(-{\frac {1}{\gamma ^{2}}}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}-{\frac {{\vec {\dot {\beta }}}^{2}}{\gamma ^{4}}}\right).}
虽然上方的公式可以正确代表其意义，但无法立刻地明确显示辐射功率和粒子速度、加速度的关系。如果让这关系更加明确显示，就可以明显指出辐射如何和粒子的运动相关，以及不同状况下会发生什么。可以借着增加和取代以上公式中的
β
→
2
⋅
β
˙
→
2
γ
2
{\displaystyle {\frac {{\vec {\beta }}^{2}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}^{2}}{\gamma ^{2}}}}
γ
6
m
2
c
2
[
(
β
→
2
β
˙
→
2
−
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
2
)
−
β
˙
→
2
]
.
{\displaystyle \gamma ^{6}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}^{2}{\vec {\dot {\beta }}}^{2}-({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2})-{\vec {\dot {\beta }}}^{2}].}
如果应用矢量的话：
(
β
→
×
β
˙
→
)
⋅
(
β
→
×
β
˙
→
)
=
(
β
→
2
β
˙
→
2
−
(
β
→
⋅
β
˙
→
)
2
)
.
{\displaystyle ({\vec {\beta }}\times {\vec {\dot {\beta }}})\cdot ({\vec {\beta }}\times {\vec {\dot {\beta }}})=({\vec {\beta }}^{2}{\vec {\dot {\beta }}}^{2}-({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}).}
然后可得到：
P
=
2
q
2
γ
6
3
c
(
(
β
˙
→
)
2
−
(
β
→
×
β
˙
→
)
2
)
{\displaystyle P={\frac {2q^{2}\gamma ^{6}}{3c}}\left(({\vec {\dot {\beta }}})^{2}-({\vec {\beta }}\times {\vec {\dot {\beta }}})^{2}\right)}
这里已经取代了所有常数和之前删除的负号。
这是李纳首次于1898年计算出的结果。
γ
6
{\displaystyle \gamma ^{6}}
γ
{\displaystyle \gamma }
β
<<
1
{\displaystyle \beta <<1}
γ
{\displaystyle \gamma }
β
→
1
{\displaystyle \beta \rightarrow 1}
β
→
⋅
β
˙
→
{\displaystyle {\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}}
β
{\displaystyle \beta }
γ
6
{\displaystyle \gamma ^{6}}
∞
6
{\displaystyle \infty ^{6}}
而我们可以用李纳的结果预测粒子在不同形式的运动下将会释放的辐射种类。
来自带电粒子的辐射会携带有能量和动量。为了满足能量和动量守恒，带电粒子会在释放电磁辐射时出现反冲现象，因此在带电粒子上必须要有一个额外的力。在非相对论性下这个力量就是阿布拉罕-洛伦兹力 ，而在相对论性状态下则是阿布拉罕-洛伦兹-狄拉克力 。
在经典物理中，环绕原子核的电子会被加速且释放出电磁辐射，会使电子失去能量并以螺旋路径坠入原子核。在经典力学之下原子应是不稳定的，因此稳定的电子轨道违反了经典力学的预测。这个原子物理学 的问题由量子力学 或随机电动力学 解决。
^ Purcell Simplified . [2012-10-26 ] . （原始内容存档 于2020-12-27）.
J. Larmor, "On a dynamical theory of the electric and luminiferous medium", Philosophical Transactions of the Royal Society 190 , (1897) pp. 205–300 (Third and last in a series of papers with the same name). Misner, Charles; Thorne, Kip S. & Wheeler, John Archibald. Gravitation. San Francisco: W. H. Freeman. 1973. ISBN 0-7167-0344-0 
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![{\displaystyle {\vec {E}}({\vec {r}},t)=q\left({\frac {{\vec {n}}-{\vec {\beta }}}{\gamma ^{2}(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R^{2}}}\right)_{\rm {ret}}+{\frac {q}{c}}\left({\frac {{\vec {n}}\times [({\vec {n}}-{\vec {\beta }})\times {\vec {\dot {\beta }}}]}{(1-{\vec {\beta }}\cdot {\vec {n}})^{3}R}}\right)_{\rm {ret}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d19138bd8d71713f0f9215b09468f32c03007669)
![{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=-\gamma ^{2}[-(\gamma m{\vec {\dot {v}}}+\gamma ^{3}m{\vec {v}}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}))^{2}+{\frac {1}{c^{2}}}(\gamma ^{3}{\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}}mc^{2})^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a6dfa16aba554cffb995cc2043318332405391)
![{\displaystyle {\frac {dp^{\mu }}{d\tau }}{\frac {dp_{\mu }}{d\tau }}=\gamma ^{8}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2}-({\vec {\beta }}({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})+{\frac {\vec {\dot {\beta }}}{\gamma ^{2}}})^{2}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b93ec16cae3dab2e4c4421fe914e585042b83bb)
![{\displaystyle \gamma ^{6}m^{2}c^{2}[({\vec {\beta }}^{2}{\vec {\dot {\beta }}}^{2}-({\vec {\beta }}\cdot {\vec {\dot {\beta }}})^{2})-{\vec {\dot {\beta }}}^{2}].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0630ef2e1daa484bd0b409e6d8338cf6aa615312)
