提示:此条目页的主题不是
差平方。
平方差公式是数学公式的一种,属于乘法公式、因式分解及恒等式,被普遍使用。平方差指一个平方数减去另一个平方数得来的乘法公式:
![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=\left(a+b\right)\left(a-b\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/134e74cdce14eb604c5d6cd5dfa5d14b9f9b7619)
及
的排列不是非常的重要,可随意排放。
验证
主验证
平方差可利用因式分解及分配律来验证:
![{\displaystyle {\begin{aligned}a^{2}-b^{2}&=a^{2}-0-b^{2}\\&=a^{2}-(ab-ba)-b^{2}\\&=a^{2}-ab+ba-b^{2}\\&=(a^{2}-ab)+(ba-b^{2})\\&=a(a-b)+b(a-b)\\&=(a-b)(a+b)\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aed5cebe616efeec22fdaf6129cfccc98cac3bdb)
方格验证
平方差能使用表格方式来验证。
x)已知
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这样可验证出
几何验证
两个正方形和两个立方体之间差异的视觉证明
平方差可利用一个普通的平面图表验证出来。右图中,是正方形
减去正方形
,那即是
。利用平方差,计算出阴影部分的面积就是
。
方法一
根据右图,可先将阴影部分分割成三部分,分别为:
![{\displaystyle b(a-b)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eda5fde14263be4a8299209d5a0750786f4ce47)
是灰正方
![{\displaystyle b(a-b)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2eda5fde14263be4a8299209d5a0750786f4ce47)
然后,将三部分加起:
![{\displaystyle b(a-b)+(a-b)^{2}+b(a-b)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6223adea80f2a8b2786eb847bc16bcd6c2184d2f)
![{\displaystyle =ab-b^{2}+a^{2}-2ab+b^{2}+ab-b^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1df2b10ebb9c1c892b9b431aeffe27a41100fde6)
![{\displaystyle =ab+ab-2ab-b^{2}+b^{2}+a^{2}-b^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7fad1fb9b8c6de0943dcd84fa46dbaef0099b09e)
![{\displaystyle =a^{2}-b^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098e927a2ef523be586b2a138c7e74400fbe93b6)
- 注:
运用了差平方。
方法二
与方法一差不多,先将阴影部分分割为两部分,分别为:
大长方
小长方
然后,将两部分加起:
![{\displaystyle a(a-b)+b(a-b)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b50e9f53740f9f056c5df16b8d341456cec14bda)
![{\displaystyle =a^{2}-ab+ab-b^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acabb59ed170b125ee3ccb02194e960b2dc57063)
![{\displaystyle =a^{2}-b^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/098e927a2ef523be586b2a138c7e74400fbe93b6)
例子
例子一
![{\displaystyle x^{2}-16\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/900791fa7023bb9884e2f1e746663ddfbcc37f2a)
计算此公式,必须把两个数项都转为平方。并得:
![{\displaystyle =x^{2}-4^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ad9e96ace47ac0da8cbc707e1f368a44ba68a72)
![{\displaystyle =(x-4)(x+4)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54521ab7fe2a9ea9e4153dd884b951dc41f66007)
例子二
![{\displaystyle 16m^{2}-81n^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1acb2bcc3295ba2fda5788858292722cf9665bf2)
计算此公式,同样地把两个数项转为平方。并得:
![{\displaystyle =(4m)^{2}-(9n)^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22df06de01e25bc5ab3c84f656072b5480b83d70)
![{\displaystyle =(4m-9n)(4m+9n)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c370e8e3cebfa5aefa2106b5d43dd61d7cefc463)
例子三
![{\displaystyle 4y^{2}-36z^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25aa2bffb54b7cee7943611b6620776a04830c16)
计算此公式,虽
及
的开方分别是
及
,但最好的方法是先抽出公因子,并得:
![{\displaystyle =4(y^{2}-9z^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3f2b9c10d070e956ac52f1e3005127578ed85f9f)
同样地把两个数项转为平方,并得:
![{\displaystyle =4\left[y^{2}-(3z)^{2}\right]\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77c777748875296aeb5f36ff4b1a20c1fe169761)
![{\displaystyle =4(y-3z)(y+3z)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b10e2085d6d612e3a032be947338618c61c825f9)
例子四
![{\displaystyle {\frac {1}{x^{4}}}-{\frac {13}{x^{2}}}+36}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e771a009d44bfcd865be3002a46d21ab70423f71)
首先,可将该两个分数转成正数,并得:
![{\displaystyle =x^{-4}-13x^{-2}+36\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cf17e191845e543b5d6ae636b8580c8864f28dc1)
![{\displaystyle =(x^{-2})^{2}-13(x^{-2})+36\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e5274dce4b879c248327f0e61650e28d457e1f6)
运用因式分解的方法得出:
![{\displaystyle =x^{-2}\times x^{-2}-9(x^{-2})-4(x^{-2})+9\times 4}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4d8b738ad8b8d4420e44415963c7eb491a2513de)
![{\displaystyle =(x^{-2}-4)(x^{-2}-9)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0025f3f20c7e0254d35898a4f11a6baea379463b)
然后,把所有可被开方的数目转为平方数,并得到:
![{\displaystyle =\left[(x^{-1})^{2}-2^{2}\right]\left[(x^{-1})^{2}-3^{2}\right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94e490abeb6f193e91cab86dfde820fb9b2c5ffb)
运用平方差并得出:
![{\displaystyle =(x^{-1}-2)(x^{-1}+2)(x^{-1}-3)(x^{-1}+3)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/202a75e49a9ba1a6dd6abf9172866199af98eff2)
或
![{\displaystyle =\left({\frac {1}{x}}-2\right)\left({\frac {1}{x}}+2\right)\left({\frac {1}{x}}-3\right)\left({\frac {1}{x}}+3\right)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/631f1253d824ff0ebe6f855e452908e257a7c7bc)
运用
用平方差代替整数相乘
某些特别的整数相乘,能巧妙地使用平方差来计算,并可减省复杂的计算步骤。
例子一,两个数项都分别是
的
及
:
![{\displaystyle 10\times 10=(10-0)(10+0)=10^{2}-0^{2}=100-0=100}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f8fed0ffaf10fb946cc4e6f60e53e38dbd1bbf23)
![{\displaystyle 7\times 13=(10-3)(10+3)=10^{2}-3^{2}=100-9=91}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2cae2b5d8e5fbdd208281296d0ded5bf19637cbe)
![{\displaystyle 95\times 105=(100-5)(100+5)=100^{2}-5^{2}=10,000-25=9,975}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d8f473d532dfaff99cfe2070cc41ed6b47aaa711)
![{\displaystyle 99,994\times 100,006=(100,000-6)(100,000+6)=100,000^{2}-6^{2}=10,000,000,000-36=9,999,999,964}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f869324a021291527a3ad5143f7c02a6a309c719)
例子二:第一个数项减去第2个数项,都是
:
![{\displaystyle 14^{2}-4^{2}=(14+4)(14-4)=18\times 10=180\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c3fb5876f123bf4c1a038b1c2f9f397fdd0ae30)
![{\displaystyle 125^{2}-25^{2}=(125+25)(125-25)=150\times 100=15,000\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/407a2feab683951e8000ff8262eac221ca494542)
![{\displaystyle 1,750^{2}-750^{2}=(1,750+750)(1,750-750)=2,500\times 1,000=25,000,000\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e6d2235ec3e66f839de4b31945ee849046164dec)
![{\displaystyle 14,205^{2}-4,205^{2}=(14,205+4,205)(14,205-4,205)=18,410\times 10,000=184,100,000\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6565acc2de876167674bc846f4620a0d74358ed)
例子三:运用分配律、平方差来计出以下很大而覆杂的数项:
![{\displaystyle 3263\times 3264\times \left({\frac {3264}{3263}}-{\frac {3265}{3264}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ac217ea9c45f734d21605cf539792cdcd1e9576)
- 下一步先运用分配律:
![{\displaystyle =3263\times 3264\times {\frac {3264}{3263}}-3263\times 3264\times {\frac {3265}{3264}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/906b9c313f4f12320e851fe421b8cc8f9a33e119)
- 并把所有相同数项约简,并得:
![{\displaystyle =3264^{2}-3263\times 3265}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8620fd0bfed6a4f6046c77234160c4f4cbf40e4)
- 运用平方差,并得:
![{\displaystyle =3264^{2}-(3264-1)(3264+1)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f83e08093dc9d990c5f4485487899d2efdc1a784)
![{\displaystyle =3264^{2}-(3264^{2}-1^{2})\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8503e4fe7ded50703b8fd50d0f34a19be5072d3a)
![{\displaystyle =3264^{2}-3264^{2}+1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/458509aa439cc77e93836ddc04c69c57bc0b0e97)
![{\displaystyle =1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a6192fa4bc5cef0dc4d2cac8e4df784ed03ecba2)
错误运用
很多人混淆了平方差、差平方,除了文字上外,不少人都错误计算。
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Y
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![{\displaystyle a^{2}-b^{2}=(a-b)^{2}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/864782186b18267cee3fc0650d2290879e823678) |
N
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- 注:
,详见差平方
数论性质
因为平方数除以4的余数只能是0或1,所以两个整数的平方差模4余0、1或3。另一方面,
![{\displaystyle (k+1)^{2}-(k-1)^{2}=4k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1384007fd8e454de1ba10d707c63b18abf051208)
说明模4余0的数皆可写成平方差,而
![{\displaystyle (k+1)^{2}-k^{2}=2k+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0ad53b46ce2264bf718d8e8f9d9e8f6624f084a4)
说明模4余1或3的数(奇数)可以写成平方差。[1][2]
内部链接
参考文献
外部链接