在数学 中，局部可积函数 是指在定义域 内的所有紧集 上都可积 的函数 。
设
Ω
{\displaystyle \Omega }
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
开集 。设
f
:
Ω
→
C
{\displaystyle \scriptstyle f:\Omega \to \mathbb {C} }
勒贝格 可测函数 。如果函数
f
{\displaystyle f}
紧集
K
⊂
Ω
{\displaystyle K\subset \Omega }
∫
K
|
f
|
d
x
<
+
∞
{\displaystyle \int _{K}|f|\mathrm {d} x<+\infty \,}
那么就称函数
f
{\displaystyle f}
Ω
{\displaystyle \Omega }
[ 1]
Ω
{\displaystyle \Omega }
L
l
o
c
1
(
Ω
)
{\displaystyle \scriptstyle L_{loc}^{1}(\Omega )}
L
l
o
c
1
(
Ω
)
=
{
f
:
Ω
→
C
,
{\displaystyle L_{loc}^{1}(\Omega )=\left\{f:\Omega \to \mathbb {C} ,\right.}
|
f
∈
L
1
(
K
)
,
∀
K
∈
P
0
(
Ω
)
}
{\displaystyle \left.\left|\ f\in L^{1}(K),\ \forall K\in {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}\right.\right\}}
其中
P
0
(
Ω
)
{\displaystyle \scriptstyle {{\mathcal {P}}_{0}(\Omega )}}
Ω
{\displaystyle \Omega }
对于更一般的测度空间
(
X
,
d
μ
)
{\displaystyle (X,d\mu )}
[ 2]
所有
Ω
{\displaystyle \Omega }
连续函数 与可积函数都是
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
Ω
{\displaystyle \Omega }
L2 函数 也是
Ω
{\displaystyle \Omega }
[ 3]
局部可积函数都是几乎处处 有界的函数
(
X
,
d
μ
)
{\displaystyle (X,d\mu )}
[ 4]
复数值的函数
f
{\displaystyle f}
当且仅当 其实部函数
R
e
(
f
)
:
x
→
R
e
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle Re(f):x\to Re\left(f(x)\right)}
I
m
(
f
)
:
x
→
I
m
(
f
(
x
)
)
{\displaystyle Im(f):x\to Im\left(f(x)\right)}
f
{\displaystyle f}
当且仅当 其正部函数
f
+
:
x
→
(
f
(
x
)
)
+
{\displaystyle f_{+}:x\to \left(f(x)\right)_{+}}
f
−
:
x
→
(
f
(
x
)
)
−
{\displaystyle f_{-}:x\to \left(f(x)\right)_{-}}
[ 4]
^ Francis Hirsch, Gilles Lacombe. Elements of functional analysis ISBN 978-0387985244（英语） . ^ Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis 第2卷. Academic Press. 1976年 （英语） . ^ John Michael Rassias. Functional analysis, approximation theory, and numerical analysis ISBN 978-981-02-0737-3（英语） . ^ 4.0 4.1 Jean Alexandre Dieudonné. Treatise on Analysis 第2卷. Academic Press. 1976 （英语） .
