对角占优矩阵 是指一矩阵 的每一横行，对角线上元素的大小大于或等于同一横行其他元素大小的和，一矩阵A 为对角占优矩阵若
|
a
i
i
|
≥
∑
j
≠
i
|
a
i
j
|
for all
i
,
{\displaystyle |a_{ii}|\geq \sum _{j\neq i}|a_{ij}|\quad {\text{for all }}i,\,}
其中a ij i 行第j 列的元素。
上述的定义中用到大于等于，其条件较松，因此有时会称为弱对角占优矩阵 ，若上述的定义用大于代替大于等于，则称为强对角占优矩阵 。对角优势矩阵可以指弱对角占优矩阵，也可以指强对角占优矩阵，视上下文而定[ 1]
第一段的定义是考虑同一横行其他元素大小的和，有时也称为行对角优势矩阵 ，若是考虑同一直列其他元素大小的和，则称为列对角优势矩阵 。
若一不可约 不可约对角优势矩阵 。
矩阵
A
=
[
3
−
2
1
1
−
3
2
−
1
2
4
]
{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}3&-2&1\\1&-3&2\\-1&2&4\end{bmatrix}}}
可得
|
a
11
|
≥
|
a
12
|
+
|
a
13
|
{\displaystyle |a_{11}|\geq |a_{12}|+|a_{13}|}
|
3
|
≥
|
−
2
|
+
|
1
|
{\displaystyle |3|\geq |-2|+|1|}
|
a
22
|
≥
|
a
21
|
+
|
a
23
|
{\displaystyle |a_{22}|\geq |a_{21}|+|a_{23}|}
|
−
3
|
≥
|
1
|
+
|
2
|
{\displaystyle |-3|\geq |1|+|2|}
|
a
33
|
≥
|
a
31
|
+
|
a
32
|
{\displaystyle |a_{33}|\geq |a_{31}|+|a_{32}|}
|
4
|
≥
|
−
1
|
+
|
2
|
{\displaystyle |4|\geq |-1|+|2|}
因为任一对角线元素大小都大于等于同一行其他元素的和，因此A为对角优势矩阵。
矩阵
B
=
[
−
2
2
1
1
3
2
1
−
2
0
]
{\displaystyle \mathbf {B} ={\begin{bmatrix}-2&2&1\\1&3&2\\1&-2&0\end{bmatrix}}}
但是
|
b
11
|
<
|
b
12
|
+
|
b
13
|
{\displaystyle |b_{11}|<|b_{12}|+|b_{13}|}
|
−
2
|
<
|
2
|
+
|
1
|
{\displaystyle |-2|<|2|+|1|}
|
b
22
|
≥
|
b
21
|
+
|
b
23
|
{\displaystyle |b_{22}|\geq |b_{21}|+|b_{23}|}
|
3
|
≥
|
1
|
+
|
2
|
{\displaystyle |3|\geq |1|+|2|}
|
b
33
|
<
|
b
31
|
+
|
b
32
|
{\displaystyle |b_{33}|<|b_{31}|+|b_{32}|}
|
0
|
<
|
1
|
+
|
−
2
|
{\displaystyle |0|<|1|+|-2|}
因为
|
b
11
|
{\displaystyle |b_{11}|}
|
b
33
|
{\displaystyle |b_{33}|}
矩阵
C
=
[
−
4
2
1
1
6
2
1
−
2
5
]
{\displaystyle \mathbf {C} ={\begin{bmatrix}-4&2&1\\1&6&2\\1&-2&5\end{bmatrix}}}
可得
|
c
11
|
≥
|
c
12
|
+
|
c
13
|
{\displaystyle |c_{11}|\geq |c_{12}|+|c_{13}|}
|
−
4
|
>
|
2
|
+
|
1
|
{\displaystyle |-4|>|2|+|1|}
|
c
22
|
≥
|
c
21
|
+
|
c
23
|
{\displaystyle |c_{22}|\geq |c_{21}|+|c_{23}|}
|
6
|
>
|
1
|
+
|
2
|
{\displaystyle |6|>|1|+|2|}
|
c
33
|
≥
|
c
31
|
+
|
c
32
|
{\displaystyle |c_{33}|\geq |c_{31}|+|c_{32}|}
|
5
|
>
|
1
|
+
|
−
2
|
{\displaystyle |5|>|1|+|-2|}
因为任一对角线元素大小都大于同一行其他元素的和，因此C为强对角优势矩阵。
强对角优势矩阵（或不可约对角优势矩阵[ 2] 非奇异方阵 ，此结果即为Levy–Desplanques定理[ 3] Gershgorin圆定理
若埃尔米特 对角优势矩阵
A
{\displaystyle A}
正定矩阵 。
若不考虑对称性的条件，上述的矩阵不一定会是半正定矩阵。（例如，
[
−
5
2
1
]
[
1
1
0
1
1
0
1
0
1
]
[
−
5
2
1
]
=
10
−
5
5
<
0
{\displaystyle {\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}&2&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&1&0\\1&1&0\\1&0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}-{\sqrt {5}}\\2\\1\end{bmatrix}}=10-5{\sqrt {5}}<0}
Gershgorin圆定理
类似的，若埃尔米特强对角优势矩阵的对角线元素为正，此矩阵为正定矩阵 ，此矩阵等于某个对角线元素为非负值实数的埃尔米特强对角优势矩阵
A
{\displaystyle A}
x
I
{\displaystyle xI}
x
{\displaystyle x}
若高斯消元法 （LU分解）的矩阵为强对角优势矩阵，不需要进行寻找主元 的过程。
若一线性联立方程的矩阵为强对角优势矩阵或不可约对角优势矩阵，利用雅可比法 及高斯-赛德尔迭代 的计算结果会收敛。
许多从有限元素法 中产生的矩阵都是对角优势矩阵。
^ For instance, Horn and Johnson (1985, p. 349) use it to mean weak diagonal dominance.
^ Horn and Johnson, Thm 6.2.27.
^ Horn and Johnson, Thm 6.1.10. This result has been independently rediscovered dozens of times. A few notable ones are Lévy (1881), Desplanques (1886), Minkowski (1900), Hadamard (1903), Schur, Markov (1908), Rohrbach (1931), Gershgorin (1931), Artin (1932), Ostrowski (1937), and Furtwängler (1936). For a history of this "recurring theorem" see: Taussky, Olga . A recurring theorem on determinants . American Mathematical Monthly (The American Mathematical Monthly, Vol. 56, No. 10). 1949, 56 (10): 672–676. JSTOR 2305561 doi:10.2307/2305561 Schneider, Hans. Olga Taussky-Todd's influence on matrix theory and matrix theorists. Linear and Multilinear Algebra. 1977, 5 (3): 197–224. doi:10.1080/03081087708817197
Gene H. Golub & Charles F. Van Loan. Matrix Computations , 1996. ISBN 0-8018-5414-8
Roger A. Horn & Charles R. Johnson. Matrix Analysis , Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2 (paperback).
