字元集 (数理逻辑)

字元集在不同领域中有不同意义。在逻辑学（特别是数理逻辑中）代表的是列举出形式语言中非逻辑符号的一组集合；在泛代数中则是列举出代数结构具代表性的运算。另外，在模型论中两种用法皆有使用。

对逻辑学更哲学性的讨论中，字元集的概念较少被提及。

定义

一个（单域）字元集在形式上定义为四元组$\sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)$，当中$S_{\operatorname {func} }$与$S_{\operatorname {rel} }$是不包含其他基本逻辑符号的不相交集合，分别称作

• 函数符号（例如: $+,\times ,0,1$）
• 关系符号或谓词（例如: $\,\leq ,\,\in$）
• 常数符号（例如: $0,1$）

以及一个函数$\operatorname {ar} :S_{\operatorname {func} }\cup S_{\operatorname {rel} }\to \mathbb {N}$用来为各个关系符号和逻辑符号指定一个自然数，称为该符号的元数。元数为$n$的符号称为$n$-元的。有些作者会将常数符号定为0-元的函数符号，其它则将常数符号分开定义。

不含函数符号的字元集称为关系字元集，而不含关系符号的字元集称作代数字元集。 如果$S_{\operatorname {func} }$与$S_{\operatorname {rel} }$皆为有限集合，则称为有限字元集。更广泛的说，字元集$\sigma =\left(S_{\operatorname {func} },S_{\operatorname {rel} },S_{\operatorname {const} },\operatorname {ar} \right)$的势定义为$|\sigma |=\left|S_{\operatorname {func} }\right|+\left|S_{\operatorname {rel} }\right|+\left|S_{\operatorname {const} }\right|$。

字元集的语言是字元集和逻辑系统中的所有符号形成的合式公式的集合

其他记号

由于其形式定义对日常使用来说过于繁琐，一些字元集的定义经常以一种非正式的方式缩写，例如：

“阿贝尔群的标准字元集是 $\sigma =(+,-,0)$，当中$-$是一个一元算符。”

有时一个代数字元集会被视为元数的列表，例如：

“阿贝尔群的相似类型（原文：similarity type）是$\sigma =(2,1,0)$。”

这在形式上将函数符号定义为类似于$f_{0}$（2-元）、$f_{1}$（1-元）和$f_{2}$（0-元）的样子，但也有机会看到以这种方式命名的关系符号。

在数理逻辑中通常不会允许0-元的符号，因此常数符号就必须得被分开处理。$S_{\operatorname {const} }$形成一个集合，并与$S_{\operatorname {func} }$没有交集，且元数函数$\operatorname {ar}$在这集合上没有定义。然而这只会让事情变得复杂，尤其在用归纳法证明一个公式的结构时会需要考虑到额外的情况。虽然在此定义下0-元关系符号也是不被允许的，但我们依旧能用一个1-元关系符号，额外加上一个说明此关系的值对所有元素都相同的表达句来模拟。这种模拟方式只会在空结构中失效（但空结构照惯例通常会被排除在外）。如果允许0-元符号，则命题逻辑的公式也都会是一阶逻辑的公式。

无限字元集的一个例子是使用$S_{\operatorname {func} }=\{+\}\cup \left\{f_{a}:a\in F\right\}$与$S_{\operatorname {rel} }=\{=\}$来形式化无限标量体$F$上向量空间的表达式和方程，当中$f_{a}$代表乘以标量$a$的1-元算符。如此便能维持单域的字元集和逻辑，论域只包含向量。

字元集在逻辑学和代数中的应用

在一阶逻辑的语境下，字元集中的符号又被称作非逻辑符号，因为字元集配上逻辑符号便构成了基础的字母表，可以用于归纳的定义出两种形式语言：字元集上项的集合与（合式）公式的集合。

在讨论结构时，诠释将函数符号和关系符号联系到与它们名字相衬的数学对象：一个$n$-元函数符号$f$在以$A$为论域的结构$\mathbf {A}$中的诠释是一个函数$f^{\mathbf {A} }:A^{n}\to A$，而一个$n$-元关系符号的诠释是一个关系 $R^{\mathbf {A} }\subseteq A^{n}$。当中$A^{n}=A\times A\times \cdots \times A$代表论域$A$和自己的$n$次笛卡尔积，如此$f$便成为了一个$n$-元函数，而$R$则是一个$n$-元关系。

多域字元集

多域逻辑和多域结构的字元集必须包含论域的讯息。最直接的做法便是透过符号类型。

符号类型

令$S$为一个不包含符号$\times$ 和$\to$的（论域的）集合。

$S$上的符号类型是字母表$S\cup \{\times ,\to \}$上的特定词汇：关系符号类型$s_{1}\times \cdots \times s_{n}$，和函数符号类型$s_{1}\times \cdots \times s_{n}\to s^{\prime }$，其中$n$为非负整数且$s_{1},s_{2},\ldots ,s_{n},s^{\prime }\in S$ （如果$n=0$，则表达式$s_{1}\times \cdots \times s_{n}$表示空词汇)

字元集

（多域）字元集是一个三元组$(S,P,\operatorname {type} )$包含

• 论域的集合$S$
• 符号的集合$P$
• 一个将$P$中的每个符号送到$S$上的符号类型的映射$\operatorname {type}$。

参见

• 项代数

参考文献

• Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H.P. A Course in Universal Algebra. Springer. 1981. ISBN 3-540-90578-2.  Free online edition （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Hodges, Wilfrid. A Shorter Model Theory. Cambridge University Press. 1997. ISBN 0-521-58713-1. 

外部链接

• Stanford Encyclopedia of Philosophy （页面存档备份，存于互联网档案馆）: "Model theory （页面存档备份，存于互联网档案馆）"—by Wilfred Hodges.
• PlanetMath: （页面存档备份，存于互联网档案馆）的页面"Signature （页面存档备份，存于互联网档案馆）"介绍了此概念，但没有提到论域的事情。
• Baillie, Jean （页面存档备份，存于互联网档案馆）, "An Introduction to the Algebraic Specification of Abstract Data Types. （页面存档备份，存于互联网档案馆）"