约数

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因数（英语：factor）也称 约数、因子、除子、除数（divisor），是一个常见的数学名词，用于描述自然数 $a$ 和自然数 $b$ 之间存在的整除关系，即 $b$ 可以被 $a$ 整除。这里我们称 $b$ 是 $a$ 的倍数，$a$ 是 $b$ 的因数或因子。

定义

设 $a,b$ 满足 $a\in \mathbb {N} ^{*},b\in \mathbb {N}$. 若存在 $q\in \mathbb {N}$ 使得 $b=aq$, 那么就说 $b$ 是 $a$ 的倍数， $a$ 是 $b$ 的约数。这种关系记作 $a|b$,读作“$a$ 整除 $b$”.

例如 $24=3\times 8,\;1150=25\times 46$. 所以 $3|24,\;25|1150$，同时 $3$ 是 $24$ 的因数；$25$ 是 $1150$ 的因数。

除了自己本身外的约数，称为 真约数 或 真因子（proper divisor）。

性质

• 若 $a|b,\;b|c$ 那么 $a|c$.

• 若 $a|b,\;a|c$ 且 $x,y\in \mathbb {Z}$, 有 $a|(bx+cy)$.

• 若 $a|b$, 设 $t\not =0$, 那么 $(ta)|(tb)$.

• 若 $b=qd+c$, 那么 $d|b$ 的充要条件是 $d|c$

• 若 $x,y\in \mathbb {Z}$ 满足 $ax+by=1,\;a|n.\;b|n$ 那么 $ab|n$.

这里对最后一条性质进行证明:

$\because a|n,\;b|n\quad \therefore ab|bn,\;ab|an\quad \therefore ab|(anx+bny)$

$\because ax+by=1\quad \therefore ab|n$

证毕。

相关定理

整数的唯一分解定理

任何一个正整数都有且仅有一种方式写出它所有素数因子的乘积表达式。这个过程称为素因数分解

如果 $A\in \mathbb {N} ^{+}$, 那么

$A=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{a_{i}}$, 其中 $p_{i}$ 是一个素数.

这种表示方法是唯一的。

因数个数

自然数 $N$ 的因数个数以 $d(n)$ 表示。

若 $N$ 唯一分解为 $N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}$, 则 $d(N)=(a_{1}+1)\times (a_{2}+1)\times (a_{3}+1)\times \cdots \times (a_{n}+1)=\prod _{i=1}^{n}\left(a_{i}+1\right)$.

例如 $2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}$，则其正因数个数 $d(2646)=(1+1)\times (3+1)\times (2+1)=24$。

因数和

自然数N的正因数和，以因数函数 $\sigma (N)$ 表示。由素因数分解而得。

若 $N$ 唯一分解为 $N=p_{1}^{a_{1}}\times p_{2}^{a_{2}}\times p_{3}^{a_{3}}\times \cdots \times p_{n}^{a_{n}}=\prod _{i=1}^{n}p_{i}^{k_{i}}$, 则 $\sigma (N)=\prod _{i=1}^{n}\left(\sum _{j=0}^{a_{i}}p_{i}^{j}\right)$.

再由等比级数求和公式可知，上式亦可写成：

${\begin{aligned}\sigma (N)&={\frac {p_{1}^{a_{1}+1}-1}{p_{1}-1}}\times {\frac {p_{2}^{a_{2}+1}-1}{p_{2}-1}}\times \cdots \times {\frac {p_{n}^{a_{n}+1}-1}{p_{n}-1}}&\end{aligned}}$

例如$2646=2\times 3^{3}\times 7^{2}$，则其正因数之和

${\begin{aligned}\sigma (2646)&=(1+2)\times (1+3+9+27)\times (1+7+49)\\&={\frac {2^{2}-1}{2-1}}\times {\frac {3^{4}-1}{3-1}}\times {\frac {7^{3}-1}{7-1}}\\&=3\times 40\times 57\\&=6840\end{aligned}}$。

其他

• 所有n的正约数都是n的素因数的积的一些幂。这是算术基本定理的结果。

• 1是所有整数的正约数，-1是所有整数的负约数，因为$x=1x=-1\times (-x)$

由上式同样可证明，一个整数及其相反数必然为自身的约数，叫做 明显约数。

• n的正约数数目是积性函数d(n)，正约数之和则是另一个积性函数σ(n)。详见除数函数

• 素数$p$只有2个正约数：1, $p$。$p$ 的平方数只有三个正约数：1, $p$, $p^{2}$。

相关条目

• 约数判别法可参照整除规则。
• 素数
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