四分位数

四分位数（英语：Quartile）是统计学中分位数的一种，即把所有数值由小到大排列并分成四等份，处于三个分割点位置的数值就是四分位数。

概念

• 第一四分位数（$Q_{1}$），又称较小四分位数，等于该样本中所有数值由小到大排列后第25%的数字。
• 第二四分位数（$Q_{2}$），又称中位数，等于该样本中所有数值由小到大排列后第50%的数字。
• 第三四分位数（$Q_{3}$），又称较大四分位数，等于该样本中所有数值由小到大排列后第75%的数字。

第三四分位数与第一四分位数的差距又称四分位距（InterQuartile Range, IQR）。

运算过程

关于四分位数值的选择尚存争议。

主要选择四分位的百分比值$p$，及样本总量$n$有以下数学公式可以表示：

$L_{p}=n\cdot {\frac {p}{100}}$

• 情况1：如果$L$是一个整数，则取第$L$和第$L+1$的平均值
• 情况2：如果$L$不是一个整数，则取下一个最近的整数。（比如$L=1.2$， 则取$2$）

举例

图示中箱形图（有四分位数及四分位距）和概率密度函数 为描述一个常规总量$N(0,1\sigma ^{2})$的分布情况

一个算法如下（可以兼用TI-83计算器）：

1. 利用中位数使数据分成两列（不要把中位数放入已分好的数列）。
2. 第一四分位数为第一组数列的中位数；第三四分位数为第二组数列的中位数。

以下例子可以用来参考。

例1

数据总量：$6,47,49,15,42,41,7,39,43,40,36$

由小到大排列的结果：$6,7,15,36,39,40,41,42,43,47,49$

${\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=40\\Q_{3}=43\end{cases}}$

例2

数据总量：$7,15,36,39,40,41$

${\begin{cases}Q_{1}=15\\Q_{2}=37.5\\Q_{3}=40\end{cases}}$

例3

数据总量：$1,2,3,4$

${\begin{cases}Q_{1}=1.5\\Q_{2}=2.5\\Q_{3}=3.5\end{cases}}$

应用

不论$Q_{1},Q_{2},Q_{3}$ 的变异量数数值为何，均视为一个分界点，以此将总数分成四个相等部分，可以通过比较$Q_{1},Q_{3}$，分析其数据变量的趋势。