哈密顿-雅可比-贝尔曼方程

哈密顿-雅可比-贝尔曼方程（Hamilton-Jacobi-Bellman equation，简称HJB方程）是一个偏微分方程，是最佳控制的中心。HJB方程式的解是针对特定动态系统及相关成本函数下，可以有最小成本的控制实值函数。

若只在某一个区域求解，HJB方程是一个必要条件，若是在整个状态空间下求解，HJB方程是充分必要条件。其解是针对开回路的系统，但也允许针对闭回路系统求解。HJB方程也可以扩展到随机系统。

一些经典的变分问题，例如最速降线问题，可以用此方法求解。

HJB方程的基础是以1950年代由理查德·贝尔曼及其同仁提出的动态规划。对应的离散系统方程式一般称为贝尔曼方程。在连续时间的结果可以视为由卡尔·雅可比及威廉·哈密顿提出，经典力学中哈密顿－雅可比方程的延伸。

最佳控制的问题

考虑在时间$[0,T]$内，以下确定系统最佳控制的问题：

$V(x(0),0)=\min _{u}\left\{\int _{0}^{T}C[x(t),u(t)]\,dt+D[x(T)]\right\}$

其中C[ ]为标量成本函数，D[ ]为计算其最终状态时效力时或经济值的函数，x(t)为系统状态向量，x(0)假设已知，及u(t)是想要求得的控制向量，在 0 ≤ t ≤ T。

此系统也需满足下式：

${\dot {x}}(t)=F[x(t),u(t)]\,$

其中F[ ]可以根据状态向量决定向量后续的变化。

偏微分方程

针对上述简单的系统，哈密顿-雅可比-贝尔曼微分方程如下：

${\frac {\partial {V}(x,t)}{\partial t}}+\min _{u}\left\{{\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}\cdot F(x,u)+C(x,u)\right\}=0$

需符合以下条件

$V(x,T)=D(x),\,$

其中$a\cdot b$为向量a和b的内积，而$\nabla$为梯度运算子。（注意：$\nabla V(x,t)$ 表示 $V(x,t)$ 对 $x$ 求导，非对 $t$ 求导！）

上述PDE中的未知向量$V(x,t)$是贝尔曼间接效用函数，表示从时间$t$，状态$x$开始控制系统，以最佳方式控制系统一直到时间$T$的成本。

推导HJB方程

HJB方程可以用以下的方式推导：假设$V(x(t),t)$是最佳的成本函数，则根据理查·贝尔曼的贝尔曼方程，从时间t到t + dt，可得：

$V(x(t),t)=\min _{u}\left\{\int _{t}^{t+dt}C(x(t),u(t))\,dt+V(x(t+dt),t+dt)\right\}.$

注意最后一项的泰勒展开式如下：

$V(x(t+dt),t+dt)=V(x(t),t)+{\dot {V}}(x(t),t)\,dt+\nabla V(x(t),t)\cdot {\dot {x}}(t)\,dt+o(dt),$

其中o(dt)是泰勒展开式中的高阶项，若在等式两侧删除V(x(t), t)，除以dt，并取dt趋近为零的极限，可得上述定义的HJB方程。

求解方程

HJB方程一般会用逆向归纳法求解，也就是从$t=T$往前求解到$t=0$。

若对整个状态空间求解，HJB方程是最佳解的充份必要条件。若可以求解$V$，就可以找到达到最小成本的控制$u$。

一般而言，HJB方程不会有一个传统光滑函数的解。为了这些情形发展了许多广义解的表示方式，包括皮埃尔-路易·利翁及迈克尔·克兰德尔的粘性解，Andrei Izmailovich Subbotin的极小化极大算法等。

延伸到随机问题

上述的作法主要是应用贝尔曼的最优化原理，以及在时间上由最终时间倒推求解，针对随机控制问题也可以用类似的作法求最佳解。考虑以下的问题

$\min \left\{\int _{0}^{T}C(t,X_{t},u_{t})\,dt+D(X_{T})\right\}$

此时$(X_{t})_{t\in [0,T]}\,\!$为随机过程，而$(u_{t})_{t\in [0,T]}\,\!$为控制变数。首先使用贝尔曼方程，再用伊藤引理将$V(X_{t},t)$展开，可以得到以下的随机HJB方程。

$\min _{u}\left\{{\mathcal {A}}V(x,t)+C(t,x,u)\right\}=0,$

其中${\mathcal {A}}$为随机微分运算子，以下是最终时间的限制条件。

$V(x,T)=D(x)\,\!.$

注意此时已没有随机性了。此例中后者的$V\,\!$不一定是原来方程式的解，它只是可能解之一，需要再作验证。此技巧常用在财务数学中，决定在市场中的最佳投资策略（例如像默顿的投资组合问题）。

在LQG控制的应用

下例是一个有线性随机动态特性的系统，有二次式的成本。若系统动态为

$dx_{t}=(ax_{t}+bu_{t})dt+\sigma dw_{t},$

而成本以以下的速度累积$C(x_{t},u_{t})=r(t)u_{t}^{2}/2+q(t)x_{t}^{2}/2$，则HJB方程为

$-{\frac {\partial V(x,t)}{\partial t}}={\frac {1}{2}}q(t)x^{2}+{\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}ax-{\frac {b^{2}}{2r(t)}}\left({\frac {\partial V(x,t)}{\partial x}}\right)^{2}+{\frac {\sigma ^{2}}{2}}{\frac {\partial ^{2}V(x,t)}{\partial x^{2}}}.$

假设价值函数是二次式，可以将一般的Riccati方程用在价值函数的海森矩阵中，即为线性二次高斯控制（LQG控制）。

相关条目

• 贝尔曼方程，离散的哈密顿-雅可比-贝尔曼方程。
• Pontryagin最小值定理，是将哈密顿量最小值，是最佳化必要但不充份的条件，和哈密顿-雅可比-贝尔曼方程相比的好处是只要考虑满足条件的单一轨迹。

延伸阅读

• Dimitri P. Bertsekas. Dynamic programming and optimal control. Athena Scientific. 2005.