可数链条件

在序理论中，若一个偏序集$X$的所有强反链都是可数的，则说$X$满足可数链条件（Countable chain condition），而可数链条件又记做ccc。

综观

实际上可数链条件有两种，一种是上升可数链条件（upwards countable chain condition），一种是下降可数链条件（downwards countable chain condition），这两个条件并不等价，而一般而言可数链条件指的是下降可数链条件，换句话说也就是“没有两个元素有相同的最小下界”这条件。

这条件被称为“可数链条件”而非更合乎逻辑的“可数反链条件”，是因为和拓朴空间与完备布尔代数的链相关历史理由之故，而在拓朴空间与完备布尔代数中，这些链条件有时刚好和反链条件条件相同，比方说若$\kappa$是一个基数，那么在完备布尔代数中，任何的反链大小小于$\kappa$的充要条件是若不存在元素的下降$\kappa$序列，而在这种状况下链条件与反链条件等价。

满足可数链条件的偏序和空间被用于马丁公理的陈述中。

在力迫理论中会用到满足可数链条件的偏序，而这是因为对任何集合使用如此的序对，可以保持其基数及共尾性之故；此外，可数链条件在有限支撑迭代（详情可见迭代力迫）中可得到保持。关于更多关于力迫中的可数链条件，可见力迫一文相关章节的说明。

更一般地，若$\kappa$是一个基数，那么在一个偏序集每个反链的大小都小于$\kappa$的状况下，会说这个偏序集满足$\kappa$－链条件；而在这种状况下，可数链条件即是$\aleph _{1}$－链条件，也就是可数链条件即是$\kappa =\aleph _{1}$的$\kappa$－链条件。

拓朴学中的例子与性质

若说一个拓朴空间$X$满足可数链条件，或者所谓的苏斯林条件，就表示说$X$的非空开子集的偏序集满足可数链条件，也就是$X$的非空开子集的所有的两两不交的搜集都是可数的，而这名称的由来是苏斯林问题。

• 所有的可分拓朴空间都满足可数链条件，不仅如此，多至${\mathfrak {c}}=2^{\aleph _{0}}$个可分空间的积空间都是可分的且满足可数链条件。
• 一个度量空间满足可数链条件，当且仅当这空间是可分的。
• 一般而言，满足可数链条件的拓朴空间未必是可分的，像例如说在积拓朴下，$\{0,1\}^{2^{2^{\aleph _{0}}}}$这空间满足可数链条件，但“不是”可分的。
• 满足可数链条件的仿紧空间都是林德勒夫空间。

参考资料

• Jech, Thomas, Set Theory: Millennium Edition, Springer Monographs in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag, 2003, ISBN 978-3-540-44085-7 
• Products of Separable Spaces, K. A. Ross, and A. H. Stone. The American Mathematical Monthly 71(4):pp. 398–403 (1964)