变分

变分是在应用数学与变分法中泛函应对与函数中的微分使用的概念。具体可以分为泛函的变分、函数的变分等。

函数的变分

设极值曲线为${\hat {y}}={\hat {y}}(x)$，可取曲线为$y=y(x)$。定义$\delta {y}={\hat {y}}-y$为y的一次变分，即函数y的增量。从而可得$\delta {y'}={\hat {y}}'-y'$

对隐函数$\varphi (x,y)=0$，其一次变分即为全微分：${\delta }{\varphi }=\delta y{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {y}}}+\delta x{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {x}}}$。由于x无增量，即$\delta x=0$，故有${\delta }{\varphi }=\delta y{\frac {\partial {\varphi }}{\partial {y}}}$。

泛函的变分

对泛函${\underset {y}{\min }}{J(y)}=\int _{x_{0}}^{x_{1}}F(x,y(x),y'(x))dx$，

可得$J({\hat {y}})-J(y)=\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial F}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\delta y')dx+O(\delta y)$，其一次变分是其Taylor级数的一次项，即$\delta J=\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial F}{\partial y}}\delta y+{\frac {\partial F}{\partial y'}}\delta y')dx$，或直接定义一次变分为 $\delta J(y,h)={\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}\,$ 。

故其二次变分为其Taylor级数的二次项，即$\delta ^{2}J={\frac {1}{2}}\int _{x_{0}}^{x_{1}}({\frac {\partial ^{2}F}{\partial y^{2}}}(\delta y)^{2}+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y\partial y'}}\delta y\delta y'+{\frac {\partial ^{2}F}{\partial y'^{2}}}(\delta y')^{2})dx$。

需要注意，与二阶微分$d^{2}y=d(dy)$不同，泛函的二次变分不是对其一次变分再取变分。

实例

计算 $J(y)=\int _{a}^{b}yy'dx\,$的一次变分？

$\delta J(y,h)\,$	$={\frac {d}{d\varepsilon }}J(y+\varepsilon h)\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$={\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(y+\varepsilon h)(y^{\prime }+\varepsilon h^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$={\frac {d}{d\varepsilon }}\int _{a}^{b}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$=\int _{a}^{b}{\frac {d}{d\varepsilon }}(yy^{\prime }+y\varepsilon h^{\prime }+y^{\prime }\varepsilon h+\varepsilon ^{2}hh^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h+2\varepsilon hh^{\prime })\ dx\left.\right|_{\varepsilon =0}$
	$=\int _{a}^{b}(yh^{\prime }+y^{\prime }h)\ dx$

参见

• 泛函
• 变分法
• 控制论

参考文献

外链

• Exampleproblems.com（页面存档备份，存于互联网档案馆）有更多计算泛函一次变分的实例。