卡布列克数

卡布列克数（Kaprekar number）是具有以下性质的数：

对于某个正整数$X$在n进位下存在正整数 A, B 及 m，且

• $0<B<b^{n}$
• $X^{2}=An^{m}+B$
• $X=A+B$

简单的说，若正整数X在n进位下的平方可以分割为二个数字，而这二个数字相加后恰等于X，那么X就是n进位下的卡布列克数。

例如 297 在十进制下是卡布列克数，因为$297^{2}=88209$，可以分割成 88 及 209，且 88+209=297。不过 100 在十进制下不是卡布列克数，虽然$100^{2}=10000$，可以分割成 100 及 00，但 00 不是正整数。

在十进制下，几个较小的卡布列克数如下（OEIS数列A006886）:

1, 9, 45, 55, 99, 297, 703, 999, 2223, 2728, 4879, 4950, 5050, 5292, 7272, 7777, 9999, 17344, 22222, 38962, 77778, 82656, 95121, 99999, 142857, 148149, 181819, 187110, 208495, 318682, 329967, 351352, 356643, 390313, 461539, 466830, 499500, 500500, 533170

在二进制下，所有的完全数都是卡布列克数。

有时候，人们会把6174这个数称作卡布列克数，而其实这是卡布列克常数。

另一种卡布列克数

对于某个正整数$X$在n进位下存在正整数 A, B 及 m，且

• $0<B<b^{n}$
• $X=An^{m}+B$
• $X=(A+B)^{2}$

简单的说，若正整数X在n进位下可以分割为二个数字，而这二个数字的平方和后恰等于X，那么X就是n进位下的卡布列克数。 以2025为例，2025可拆为20和25，20+25=45，45²=2025，因此2025为卡布列克数。

此定义下的卡布列克数其实就是第一种定义下卡布列克数的平方。例如2025就是45的平方，而45就是第一种定义下的卡布列克数。

前几个卡布列克数是

1, 81, 2025, 3025, 9801, 10000, 88209……（OEIS数列A102766）

外部链接

• WSS数学协会 喀普利卡数