利率上限

利率上限（interest rate cap）是一种金融衍生工具，利率上限的买方可在标的利率高过履约价的每段期间结束时获得利润。例如一个利率上限可以是每月伦敦同业拆放利率（LIBOR）超过2.5%时需付款给买方的协议。

利率下限（interest rate floor）是一种类似的协议，利率下限的买方在标的利率低于履约价的每段期间结束时获得报酬。

利率上限和利率下限可用来规避利率波动的风险。例如，需要支付LIBOR浮动贷款利息的借款人在购买履约价为2.5%的利率上限后，在LIBOR利率超过2.5%的时候可用利率上限的回报金额来帮助他支付当期的利息费用。

利率上限可被分析成是一系列的欧式看涨期权或利率上限期权。这些期权存在于每个利率上限合约生效的期间内。

在数学上，一个履约价为K的利率上限期权在利率为L时的收益为：

N\cdot \alpha \max(L-K,0)

其中，N是交换的名义本金， $\alpha$ 是利率为L的计息天数。

假设你持有一个履约价为2.5%，2007年2月1日到期的利率上限期权，假定标的利率为6个月LIBOR，名义本金为100万美元，如果在2月1日美元LIBOR升到3%，你将收到：

$\$1M\cdot 0.5\cdot \max(0.03-0.025,0)=\$2500$

利率下限

利率下限是一系列的特定参考利率欧式看跌期权或利率下限期权。买方在利率低于履约价的期限到期日可获得收益。

最简单也最普遍的利率上限期权定价方法是布莱克模型。在这个模型下我们假设标的利率呈对数正态分布，波动性为 $\sigma$ .

一个以LIBOR为标的利率，在T时间支付的利率上限期权的现值为：

V=\alpha P(0,T)\left(FN(d_{1})-KN(d_{2})\right),

其中

P(0,T) 是今天对T时间的贴现率

F是远期利率。对于LIBOR利率这等于

{1 \over \alpha }\left({\frac {P(0,t)}{P(0,T)}}-1\right)

K是履约价

d_{1}={\frac {\ln(F/K)+0.5\sigma ^{2}t}{\sigma {\sqrt {t}}}}

以及

d_{2}=d_{1}-\sigma {\sqrt {t}}

利率上下限（interest rate collar）是一种同时买入和卖出具有相同标的利率、到期日和相同名义本金的利率上限和利率下限的金融衍生品。

Black, Fischer (1976). The pricing of commodity contracts, Journal of Financial Economics, 3, 167-179.