内生性

内生性（英语：Endogeneity）在计量经济学中广泛指代解释变量与扰动项相关的现象。忽略内生性问题会违背高斯-马尔可夫定理，导致产生有偏的估计量，^[1]以及无效的政策建议。^[2]工具变量法是一种缓解内生性问题的常用方法。

内生性问题

如果回归模型中的解释变量与扰动项相关，那么最小二乘法的回归系数的估计量将会是有偏的。但是，如果其中的相关性不是同期的，那么得出的系数仍然可能是一致的。有许多方法可以帮助纠正上述的偏误，例如工具变量法和赫克曼矫正法（英语：Heckman correction）。

以下是内生性问题的常见原因。

这种情况下，内生性来源于未受到控制的干扰变量，这一变量既和模型中的解释变量相关，又存在于扰动项中。换言之，这一遗漏变量不仅影响解释变量，同时还单独地作用于被解释变量。

假设需要估计的“真实”模型为：

y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\gamma z_{i}+u_{i}

但是 $z_{i}$ 在回归模型中被遗漏了（例如缺乏统计这一变量的手段）。因此，实际估计的模型为：

y_{i}=\alpha +\beta x_{i}+\varepsilon _{i}

其中， $\varepsilon _{i}=\gamma z_{i}+u_{i}$ ，也就是说，变量 $z_{i}$ 被包含在了扰动项当中。

如果 $x$ 和 $z$ 的相关系数不等于0，而且 $z$ 还独立作用与 $y$ （意味着 $\gamma \neq 0$ ），那么 $x$ 就会与 $\varepsilon$ 相关。

这一例子中， $x$ 对于 $\alpha$ 和 $\beta$ 不是外生的，这是由于：对于给定的解释变量 $x$ ， $y$ 的分布不仅取决于 $\alpha$ 和 $\beta$ ，还受到 $z$ 以及 $\gamma$ 的影响。

假设某个解释变量无法得到精准的测量。即，真实的变量 $x_{i}^{*}$ 无法观察到，实际观测到的是 $x_{i}=x_{i}^{*}+\nu _{i}$ ，其中， $\nu _{i}$ 是测量误差（“噪音”）。模型：

y_{i}=\alpha +\beta x_{i}^{*}+\varepsilon _{i}

需要改写为实际观测到的形式：

{\begin{aligned}y_{i}&=\alpha +\beta (x_{i}-\nu _{i})+\varepsilon _{i}\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+(\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\\[3pt]y_{i}&=\alpha +\beta x_{i}+u_{i}\quad (u_{i}=\varepsilon _{i}-\beta \nu _{i})\end{aligned}}

由于 $x_{i}$ 和 $u_{i}$ 都受到 $\nu _{i}$ 影响，这两个变量是相关的。结果来看， $\beta$ 最小二乘法估计量会被低估。

被解释变量 $y_{i}$ 的测量误差不会导致内生性，但是会引起扰动项的方差增大。

假设两个变量互相决定（存在“同时性”），两者的结构方程模型（英语：Structural equation modeling）如下：

y_{i}=\beta _{1}x_{i}+\gamma _{1}z_{i}+u_{i}

z_{i}=\beta _{2}x_{i}+\gamma _{2}y_{i}+v_{i}

对两个等式的任意一个进行估计都会导致内生性。以前一个等式为例， $E(z_{i}u_{i})\neq 0$ 。在 $1-\gamma _{1}\gamma _{2}\neq 0$ 的假设下求解 $z_{i}$ 得到：

z_{i}={\frac {\beta _{2}+\gamma _{2}\beta _{1}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}x_{i}+{\frac {1}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}v_{i}+{\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}u_{i}

又假设 $x_{i}$ 和 $\gamma _{i}$ 都与 $u_{i}$ 无关，

\operatorname {E} (z_{i}u_{i})={\frac {\gamma _{2}}{1-\gamma _{1}\gamma _{2}}}\operatorname {E} (u_{i}u_{i})\neq 0

因此，对两个等式的估计都会受到内生性影响。

内生性问题在时间序列因果分析中影响尤为广泛。在因果关系中，时期 $t$ 的变量很可能与 $t-1$ 的其他变量存在跨期关联。假设解释变量“虫害程度”在本期与其他变量都无关，但是与上一期的降雨量和肥料施用量有关。这种情况下，虫害程度在同期是外生的，但是在时间序列当中却存在内生性。

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