偶极子天线

飞机所使用雷达高度计的UHF半波长偶极子天线

偶极子天线（英语：Dipole antenna或doublet）是在无线电通信中，使用最早、结构最简单、应用最广泛的一类天线。它由一对对称放置的导体构成，导体相互靠近的两端分别与馈电线相连。用作发射天线时，电信号从天线中心馈入导体；用作接收天线时，也在天线中心从导体中获取接收信号。常见的偶极子天线由两根共轴的直导线构成，这种天线在远处产生的辐射场是轴对称的，并且在理论上能够严格求解。偶极子天线是共振天线，理论分析表明，细长偶极子天线内的电流分布具有驻波的形式，驻波的波长正好是天线产生或接收的电磁波的波长。因而制作偶极子天线时，会通过工作波长来确定天线的长度。最常见的偶极子天线是半波天线，它的总长度近似为工作波长的一半。除了直导线构成的半波天线，有时也会使用其他种类的偶极子天线，如直导线构成全波天线、短天线，以及形状更为复杂的笼形天线、蝙蝠翼天线等。历史上，海因里希·赫兹在验证电磁波存在的实验中使用的天线就是一种偶极子天线。

直天线的理论分析

在洛仑兹规范下，任意电流电荷体系在场点$r$产生的矢势由推迟势公式给出：

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\mathbf {J} (\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '$

其中$t_{r}$是推迟时刻。

积分方程法

对于一般的偶极子天线，天线上变化的电流会产生辐射场，辐射场也会影响天线上的电流分布。求解一般的偶极子天线产生的辐射场是一个复杂的边值问题。对于导体构成的直天线，设其内部的电场的切向分量为$E_{z}$。这样在天线内部，矢势的切向分量$A_{z}$满足方程：

${\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}=-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}\phi }{\partial z\partial t}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}A_{z}}{\partial t^{2}}}={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}$

将推迟势公式代入，即可得到天线内部的电流密度$J_{z}$满足的积分方程：

${\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial t^{2}}})({\frac {J_{z}(\mathbf {r} ',\,t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial E_{z}}{\partial t}}$

如果使用单频交流电馈电，利用分离变量法，可以将方程转化为：

${\frac {\mu _{0}}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+k^{2})({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '={\frac {ik}{c}}E_{z}$

该方程被称为波克灵顿（英语：Pocklington）积分方程。它需要在适当的边界条件（如天线末端$J_{z}=0$）下求解。

如果天线由良导体构成，则$E_{z}$只在天线中心的空气隙中（$z=0$）明显地不为零，而在导体中近似为零，可以用狄拉克δ函数$U\delta (z)$代替。此时$A_{z}$满足一维波动方程，具有驻波形式，满足：

$\int _{\mathbb {V} '}J_{z}(\mathbf {r} ')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}$

待定系数C由边界条件给出。此为海伦(英语：Hallen)积分方程。利用矩量法可以求得两个方程的数值解。

细空心圆柱形天线

对于截面为圆形，半径远小于工作波长的细空心天线，可以近似认为其上的电流成轴对称分布，可对角度变量进行积分，方程转化为：

$\int _{-L/2}^{L/2}I(z')({\frac {\exp {(-ik|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|)}}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}})\,d^{3}\mathbf {r} '=C\cos {(kz)}-i{\frac {\omega \epsilon _{0}}{2k}}U\sin {(k|z|)}$

如果进一步假定天线的半径远小于其长度(两者之比小于1/60)，可以近似认为在积分中，只有z附近的$I(z')$才对$A_{z}$有贡献，$I$与$A_{z}$具有类似的形式。这样天线内部的电流强度也近似满足一维波动方程。电流在天线上的分布近似为驻波形式：

$I(z,t)=I_{0}cos({\frac {2\pi }{\lambda }}(L/2-|z|))\cos(\omega t)$

其中$L$是天线全长，$\omega$是交流电的频率。这种情形下，天线在场点$r$处产生的矢势为：

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi }}\int _{-L/2}^{L/2}{\frac {\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t_{r})}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,dz'$

如果场点离天线的距离足够远，以至于下列三个条件同时满足时，场点处于辐射区：

$r>>L$

$r>>\lambda$

$r>>L^{2}/\lambda$

此时推迟势公式可近似为：

$\mathbf {A} (\mathbf {r} ,\,t)\ =\ {\frac {\mu _{0}I_{0}\mathbf {\hat {z}} }{4\pi r}}\int _{-L/2}^{L/2}\cos(k(L/2-|z|'))\cos(\omega t-kr+kz'\cos {\theta })dz'={\frac {\mu _{0}I_{0}\cos(\omega t-kr)\mathbf {\hat {z}} }{2\pi kr}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-\cos {(kL/2)}}}{\sin ^{2}{\theta }}})$

略去不属于辐射场的高阶项，场点的磁感应强度$\mathbf {B}$满足：

$\mathbf {B} =\mathbf {\nabla } \times \mathbf {A} \approx {\frac {\mu _{0}I_{0}\sin {(\omega t-kr)}\mathbf {\hat {\phi }} }{2\pi r}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})$

辐射功率的角分布为：

${\frac {dP}{d\Omega }}={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{8\pi ^{2}}}({\frac {\cos {(kL/2\cos {\theta })-cos{(kL/2)}}}{\sin {\theta }}})^{2}$

对上式积分，利用三角积分函数，可以给出辐射总功率以及辐射阻抗的表达式:

$P={\frac {\mu _{0}cI_{0}^{2}}{2\pi \sin ^{2}(kL/2)}}\{\gamma +\ln(kL)-\operatorname {Ci} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\sin(kL)\operatorname {Si} (2kL)-2\operatorname {Si} (kL)+{\tfrac {1}{2}}\cos(kL)[\gamma +\ln(kL/2)+\operatorname {Ci} (2kL)-2\operatorname {Ci} (kL)]\}=R_{\mathrm {dipole} }I_{0}^{2}$

若天线的半径与长度之比$a/L$并不小，使用“电流驻波分布”的近似并不准确：有限的$a/L$会为这一定律引入$(\ln {a/L})^{-1}$量级的相对修正。

短天线

长度远小于工作波长的天线为短天线。