在经典力学里,作用量-角度坐标(action-angle coordinate)是一组正则坐标,通常在解析可积分系统 (Integrable system) 时,有很大的用处。应用作用量-角度坐标的方法,不需要先解析运动方程,就能够求得振动或旋转的频率。作用量-角度坐标主要用于完全可分的 哈密顿-亚可比方程(哈密顿量显性地不含时间,也就是说,能量保持恒定)。作用量-角度变数可以用来定义一个环面不变量。因为,保持作用量的不变设定了环的曲面,而角度是环面的另外一个坐标,粒子依照着角度,卷绕于环面。
在量子力学早期,波动力学发展成功之前,玻尔-索末菲量子化条件 (Bohr-Sommerfeld quantization) 是研究量子力学的利器。此条件阐明,作用量必须是普朗克常数常数的整数倍。爱因斯坦对于 Einstein-Brillouin-Keller action quantization 深刻的理解 与 非可积分系统 量子化的困难,都是以 作用量-角度坐标的环面不变量 来表达。
在哈密顿力学里,作用量-角度坐标也可以应用于摄动理论,特别是在决定缓渐不变量。关于一个自由度很小的动力系统的非线形摄动,混沌理论研究的最早的一个结果是 KAM theorem 。这定理阐明,对于微小摄动,环面不变量是稳定的。
作用量-角度坐标,对于户田晶格 (Toda field theory) 的解析,对于 Lax pairs 的定义,更广义地,对于一个系统同光谱 (isospectral) 演化的构想,都占有关键地位。
导引
保守的哈密顿量系统
- 主条目:哈密顿特征函数
假设,在一个物理系统里,哈密顿量是保守的,也就是说,哈密顿量
不显含时间;
;
其中,
是运动常数,
是广义坐标,
是广义动量。
采用哈密顿特征函数
为正则变换的第二型生成函数。变换方程为
,
;
其中,
是新广义坐标,
是新广义动量。
新哈密顿量
与旧哈密顿量
相等:
。
新广义动量的哈密顿方程为
。
所以,新广义动量是常数
:
,
假设,这物理系统的哈密顿-亚可比方程
为完全可分的,则哈密顿特征函数
可以分离为
个函数
:
。
哈密顿特征函数与新旧正则坐标的关系是
,
。
周期性运动
假若,粒子的运动是周期性运动,最常见的例子如振动或旋转都是周期性运动,则可以设计一个新正则坐标-作用量-角度坐标
。定义作用量为
;
这闭路径积分的路径是粒子运动一周期的路径。
由于广义动量
只跟
、
有关,经过积分,作用量
只跟
有关。所以,作用量矢量
只是个常数矢量。哈密顿特征函数可以表达为
。
虽然是同样的物理量,函数的参数不同,形式也不同。
定义角度
为
。
由于所有的广义坐标
都相互独立,所有的广义动量
也都相互独立,所以,所有的作用量
都相互独立,作用量-角度坐标可以正确的用为正则坐标。这样,哈密顿特征函数可以用正则坐标作用量-角度坐标表达为
。
新哈密顿量
与旧哈密顿量
相等:
。
因为作用量
只是常数矢量,所以,
。
新哈密顿量
,只跟作用量
有关,跟角度
无关。
角度
随时间的导数
,可以用哈密顿方程决定:
。
每一个
都是常数,所以,
也是常数:
;
其中,
是积分常数。
运动频率
假设原本广义坐标
的振荡或旋转的运动周期为
,则其对应的角度变数
的改变是
。进一步了解物理量
的性质,猜想
与广义坐标
周期性运动的频率有关。可是,因为角度
是广义坐标
与作用量
的函数,无法确定前面的猜想。为了证实这论点,计算周期
:
。
新哈密顿量
与旧哈密顿量
相等。所以,
。
假若
是个循环坐标,那么,其共轭动量
必是个常数,可以从作用量的定义积分内提出来:
;
其中,
是
运动一周期的值。
这样,
。
代入周期
的公式,
。
肯定地,
是广义坐标
的频率。
假若
不是循环坐标,则不能将其共轭动量
从作用量的定义积分内提出来,必须采用另外一个方法计算。从角度的定义,可以察觉角度
跟广义坐标
、作用量
有关:
。
保持作用量不变,角度的虚位移
是:
。
在一个周期性物理系统里,每一个广义坐标
都有它运动的周期
。假若,其中有任何广义坐标的周期与别的广义坐标的周期不相同,则称此物理系统为多重周期性物理系统。假若,两个广义坐标的周期不同
、
。在做闭路径积分的时候,就必须使用使用一个新的周期
,让闭路径积分能够开始与结束于同一点.假若,两个周期的比例是个有理数,则称这两个周期互相可通约的。设定新周期为
;
其中,
、
、
、
,都是正值的整数。
同样地,在多重周期性物理系统里,假若,每一个广义坐标的周期与其它的广义坐标的周期都是互相可通约的,则此系统是完全可通约的,称此系统为完全可通约系统。那么,新周期
为
;
其中,
、
,都是正值的整数。
经过一个周期
,角度
的变化是:
。
由于作用量
是个常数,可以将它从积分内提出:
。
所以,频率是
。
假若,有任何两个互相不可通约的广义坐标
、
,其周期
、
的比例是无理数。那么,
不可能与
同时回到同一点。虽然如此,有理论证明,
、
仍旧分别是
、
的频率。
傅里叶级数
角度
是一组互相独立的广义坐标。所以,一般而言,每一个广义坐标
可以用角度的傅里叶级数表示:
;
其中,
是傅里叶级数系数。
在大多数实际案例,物理系统的哈密顿-亚可比方程
为完全可分的。那么,一个原本广义坐标
只需用其相应的角度变数的傅里叶级数表示:
。
基本规则总结
一般程序有三个步骤:
- 计算作用量变数
。
- 用作用量变数表示原本哈密顿量。
- 取哈密顿量关于作用量变数的导数。这样,可以求得频率
。
简并度
在有些案例,两个不同的广义坐标会有相同的频率;也就是说,
for
。称这些案例的运动状态为简并。
简并的运动给出暗示,很可能有更多的保守量。例如,开普勒问题的频率是简并的,这对应于拉普拉斯-龙格-楞次矢量的恒定性。
简并的运动还给出暗示,在多于一种坐标系统里,哈密顿-亚可比方程会是完全可分的。例如,开普勒问题在球坐标系与抛物线坐标系,都是完全可分的。
参考文献
- H. Goldstein, (1980) Classical Mechanics, 2nd. Ed., Addison-Wesley. ISBN 0-201-02918-9. pg. 457-477.