伯努利不等式

数学中的伯努利不等式指出：对任意整数$n\geq 1$，和任意实数$x\geq -1$有：

$(1+x)^{n}\geq 1+nx$；

如果$n\geq 0$且是偶数，则不等式对任意实数$x$成立。

可以看到在$n=0,1$，或$x=0$时等号成立，而对任意正整数$n\geq 2$和任意实数$x\geq -1$，$x\neq 0$，有严格不等式：

$(1+x)^{n}>1+nx\,$。

伯努利不等式经常用作证明其他不等式的关键步骤。

证明和推广

伯努利不等式可以用数学归纳法证明：当$n=0,1$，不等式明显成立。假设不等式对正整数$n$，实数$x\geq -1$时成立，那么

$(1+x)^{n+1}=(1+x)(1+x)^{n}\geq (1+x)(1+nx)$

$=1+(n+1)x+nx^{2}\geq 1+(n+1)x$。

下面是推广到实数幂的版本：如果$x>-1$，那么：

若$r\leq 0$或$r\geq 1$，有$(1+x)^{r}\geq 1+rx$；

若$0\leq r\leq 1$，有$(1+x)^{r}\leq 1+rx$。

这不等式可以用导数比较来证明：

当$r=0,1$时，等式显然成立。

在$(-1,\infty )$上定义$f(x)=(1+x)^{r}-(1+rx)$，其中$r\neq 0,1$， 对$x$求导得$f'(x)=r(1+x)^{r-1}-r$， 则$f'(x)=0$当且仅当$x=0$。分情况讨论：

1. $0<r<1$，则对$x>0$，$f'(x)<0$；对$-1<x<0$，$f'(x)>0$。因此$f(x)$在$x=0$时取最大值$0$，故得$(1+x)^{r}\leq 1+rx$。
2. $r<0$或$r>1$，则对$x>0$，$f'(x)>0$；对$-1<x<0$，$f'(x)<0$。因此$f(x)$在$x=0$时取最小值$0$，故得$(1+x)^{r}\geq 1+rx$。

在这两种情况，等号成立当且仅当$x=0$。

相关不等式

下述不等式从另一边估计$(1+x)^{r}$：对任意$x,{\mbox{ }}r>0$，都有

$(1+x)^{r}<e^{rx}\,$。

我们知道$1+x<e^{x}$（$x>0$），因此这个不等式是平凡的。