伊藤积分

布朗运动及布朗运动的伊藤积分

伊藤微分（英语：Itō calculus）得名自日本数学家伊藤清，是将微积分的概念扩展到随机过程中，像布朗运动（维纳过程）就可以用伊藤微积分进行分析。主要应用在金融数学及随机微分方程中。伊藤微积分的中心概念是伊藤积分，是将传统的黎曼－斯蒂尔杰斯积分延伸到随机过程中，随机过程一方面是一个随机变量，而且也是一个不可微分的函数。

借由伊藤积分，可以将一个随机过程（被积分函数）对另一个随机过程（积分变数）进行积分。积分变数一般会布朗运动。从$0$到$t$的积分结果是一个随机变量。此随机变量定义为一特定随机变量序列的极限（有许多等效的方式可建构上述的定义）。

伊藤积分是对半鞅X以及随机过程H的积分

$\int _{0}^{t}H\,dX=\lim _{n\rightarrow \infty }\sum _{t_{i-1},t_{i}\in \pi _{n}}H_{t_{i-1}}(X_{t_{i}}-X_{t_{i-1}}).$

这里X是布朗运动，或者更广义地，是一个半鞅，H是一个适配于由X生成的筛选的，本地平方可积分的过程(Revuz & Yor 1999，Chapter IV)。布朗运动的路径无法满足应用于微积分标准技术的需求。特别地，其在任意点不可微，并且在每一个时间间隔都有无限变差。其结果是，无法用普通的方法定义积分（参考黎曼－斯蒂尔杰斯积分）。主要的创新是只要调配被积函数，就可以定义一个积分，不严格的讲，即t时刻它的值仅仅依靠此时刻之前的可用信息。

伊藤过程的重要结果包括分部积分公式和伊藤引理，即变量公式的变形。这些由于二次方差项，都与标准微积分公式不同，

股票价格和其他可交易资产的价格可以通过随机过程进行建模，例如布朗运动，或者，更经常的，几何布朗运动（参见布莱克-舒尔斯模型）。然后，伊藤随机积分代表，在时间t持有一定数量Ht的股票，对其进行连续交易的回报。这种情况下，调配H就相应于，在任何时候只使用可用信息的交易策略限制。这也阻止了通过高频交易获得无限收益的可能性：市场中每个上涨之前买入股票，每个下跌之前卖出股票。相似地，调配H的条件暗示，当作为黎曼和极限进行计算的时候，随机积分不会收敛(Revuz & Yor 1999，Chapter IV)。

伊藤引理

伊藤引理

$df(X_{t})=f'(X_{t})dX_{t}+{\frac {1}{2}}f''(X_{t})\sigma _{t}^{2}dt$

伊藤等距同构

$E((\int H_{s}dB_{s})^{2})=E(\int H_{s}^{2}ds)$

物理学家的伊藤积分

随机微分方程

朗之万方程

${\dot {x}}=f(x(t))+\xi (t)$

$\langle \xi (s)\xi (t)\rangle =\delta (s-t)$

泛函积分

$Z=\int D\xi P(\xi )$

$P(\xi )=\exp(-\int \xi ^{2}/2)$

有关条目

• 伊藤过程
• 伊藤引理
• 泛函积分

参考资料

• Revuz, Daniel; Yor, Marc, Continuous martingales and Brownian motion, Berlin: Springer, 1999, ISBN 3-540-57622-3 
• Kleinert. Path integrals in Physics, Polymers, Financial Markets.
• Oksendal. Stochastic Differential Equations.
• Scott M. Applied Stochastic Processes.
• Karatzas, Shreve Brownian Motion and Stochastic Calculus, 2nd Edition  1996