在数学中,交换环上的代数或多元环是一种代数结构,上下文不致混淆时通常迳称代数。
本页面中的环都是指有单位的环,并使用么环一词表示则是不一定有单位的环。
定义
给定一个交换环
。
代数
给定一个四元组
。如果以下两个条件成立:
是一个
-模。
是一个
的内部运算(即
),并且是
-双线性的。也就是说内部运算
符合以下三点:
![{\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad (x+y)\times z=x\times z+y\times z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ce084e769c29b92c6fcb45c9e8e1c649cdca6bb)
![{\displaystyle \forall x,y,z\in E,\qquad \qquad x\times (y+z)=x\times y+x\times z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ac779e98681340925a61b4454d3363eb4f724126)
![{\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce87f7b7adfe2c9b896ef79fe544466660aad310)
那么我们说四元组
是一个
上的代数(或称
-代数),或简称集合
是一个
-代数。
结合代数、有单位的代数、交换代数
设
为一个
-代数。
- 如果内部运算
符合结合律,那么我们说
是一个结合代数。
- 如果内部运算
有一个单位元(即
),那么此单位元是唯一的并且我们说
是一个有单位的代数。
- 如果内部运算
符合交换律,那么我们说
是一个交换代数。
注:有些作者用结合代数来称呼结合且有单位的代数,或是用交换代数来称呼结合、有单位且交换的代数。本页面使用上述段落给的定义而不采用这些称呼。
等价定义
一样给定一个交换环
。
给定一个四元组
。 这是一个
上的结合代数(
结合且有单位的代数、
结合、有单位且交换的代数)当且仅当以下三个条件成立:
是一个
-模。
是一个环(
一个幺环、
一个交换环)。
是一个
的内部运算(即
),并且是
-双线性的。
注:上述条件中的第三个条件在第一及第二条件成立下等价为:
是一个
的内部运算(即
),并符合![{\displaystyle \forall a\in A,\forall x,y\in E,\quad (a\cdot x)\times y=a\cdot (x\times y)=x\times (a\cdot y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce87f7b7adfe2c9b896ef79fe544466660aad310)
上述只是将最初定义重整理一次。然而我们可以用别种结构来理解结合且有单位的代数:
- 给定一个结合且有单位的
-代数
就等于给定一个二元组
:其中
是一个环,而
是一个满足
的环同态。(
代表环
的中心,也就是
)。
原因是如果
是一个结合且有单位的
-代数,那么
是一个环并且
是一个环同态,满足
。反过来看,如果
是一个环,而
是一个满足
的环同态,那么我们可以定义外部运算
(即
)。
上环的结构与此外部运算结构使其成为一个
-模并且成为一个结合且有单位的
-代数。
将上述性质套用在交换环上,我们便可得到结合、有单位且交换的代数的另一种看法:
- 给定一个结合、有单位且交换的
-代数
就等于给定一个二元组
:其中
是一个交换环,而
是一个的环同态。
设
是
-代数,
-模间的同态
被称作
-代数间的同态,当且仅当它满足
。因此所有
-代数构成一个范畴,也可以探讨代数间的同构。详阅主条目代数同态。
结构常数
设
是
-代数。当
是个自由的有限秩
-模(当
为域且
时自动成立)时,可选定一组基底
,并将乘法写作
(采用爱因斯坦记号)
此时常数
称作
对基底
的结构常数。
例子
- 对于
,矩阵环
附上矩阵乘法是一个非交换但结合且有单位的
-代数。
- 对二阶以上的矩阵环,假设域的特征不等于 2。定义新的乘法为
,此时得到一个交换、非结合、无单位的代数。这是一个约当代数的例子。
- 欧氏空间
对其外积构成一个非交换、非结合且无单位的
-代数。这是一个李代数的例子。
- 四元数
是一个非交换但结合且有单位的
-代数。
- 八元数
是一个非交换、非结合但有单位的
-代数。
- 考虑所有在正无穷有极限且极限为0的函数
所形成的集合,附上一般的运算会是一个结合且交换但无单位的
-代数。
除了交换结合代数外,一般常研究的几类代数包括李代数、克利福德代数、约当代数等等。近来一些物理学家运用的几何代数也是一例。
代数上也可以赋予拓扑结构,并要求代数运算是连续的;最突出的例子是巴拿赫代数,这是现代泛函分析的基石之一。
参见
文献